Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
о
Численные значения этой функции даны в табл. 5.2.1.
Таблица 5.2.1
е/г S 3 Nk е/г S 3 Nk в/г S 3 Nk в/г S 3 Nk
1 1,358 9 0,0351 17 0,00529 25 0,00166
2 0,734 10 0,0258 18 0,00446 26 0,00148
3 0,429 11 0,0195 19 0,00379 27 - 0,00132
4 0,261 12 0,0150 20 0,00325 28 0,00118
5 0,164 13 0,0118 21 0,00281 29 0,00107
6 0,1060 14 0,00947 22 0,00244 30 0,000962
7 0,0709 15 0,00770 23 0,00214 31 0,000872
8 0,0491 16 0,00634 24 0,00188 32 0,000793
Характеристические температуры в уравнениях (5.2.2) и (5.1.4) одни и те
же. Следовательно, мы можем воспользоваться значением 0 = 28О°К для
вычисления энтропии NaCl по табл. 5.2.1. Получим следующие значения для S
(табл. 5.2.2).
Т а б л и ц а 5.2.2
Г, °К 10 25 50
S, кал ¦ моль-1 ¦ град-1 0,0141 0,222 1,54
Необходимо сделать два замечания.
1) Чтобы получить ответ в кал ¦ моль*1 ¦ град*1, надо считать N = 2Na,
где Na - число Авогадро.
155
2) Следует отметить различие между характеристическими температурами,
вычисленными по экспериментальным значениям теплоемкости и по энтропии.
5.3. Из опытов с диэлектриками найдено, что при низких частотах
(примерно v < vm/25) частотное распределение принимает вид степенного
ряда
G (v) = atv2 + a2v4 + "3V6 + ¦ ¦ ¦. (5.3.1)
который сходится асимптотически [53]. Поэтому выражение для теплоемкости
при постоянном объеме принимает вид
Сц = аТ3 + ЬТ5 + сТ1 + ¦ ¦ ¦ (5.3.2)
Для характеристической температуры существует аналогичный ряд:
0С(7'>=0?[1-'4(вт)'-вШ'-]- (5-3-3)
В этом уравнении 0е (Г) - дебаевская характеристическая температура,
соответствующая теплоемкости С", полученной из экспериментальных данных;
0|р - ее предельное значение при Т-+0 °К (мы будем обозначать
происхождение характеристической температуры с помощью верхнего индекса).
Значение 0е (Г) можно получить, подставляя значения Cv при некоторой
заданной температуре в табл. 5.1.1, находя по ним 0/7\ а затем 0.
Связь между формулами (5.3.2) и (5.3.3) задается соотношением
е? = (^Т- (5.3.4)
Чтобы получить численную оценку 0^ из данных по теплоемкости, удобно
построить график зависимости Cv/T3 или 0е от Г2. В первом случае график
представляет собой кривую, у которой при
Vs -v 0 отсекаемый на координатной оси отрезок, тангенс предельного угла
наклона и кривизна соответственно равны коэффициентам а, Ь, с.
В случае германия при
7'<100°К разность между Ср и С" пренебрежимо мала. Следовательно, чтобы
найти а, можно построить график зависимости Ср/Т3 Рис. 5.3.1.
Зависимость Ср/Т" от от Г2, как это сделано на рис.
Т2 для кристаллического германия. 5.3.1. В результате получим
а = 8,9 ¦ 10'а кал ¦ г-атом-1 ¦ град и отсюда 0ОС = 374 °К. Вероятная
точность этой последней величины приблизительно равна 0,5% [54].
Для проверки сказанного можно сравнить поведение теплоемкостей и
скоростей макроскопических звуковых волн при
156
7'->-0оК. Здесь применима модель Дебая, а характеристические температуры,
вычисленные из теплоемкостей и из скоростей звука, должны совпадать.
Если задана средняя скорость, как это сделано в данной задаче, то 0^л
можно получить из соотношения
где У -молярный объем, а с -средняя скорость [55]. Окончательно для
германия имеем 0ЦЛ = 374 °К.
5.4. Существует несколько экспериментальных методов для определения
упругих постоянных кристалла или скоростей распространения волн в
заданных кристаллографических направлениях. Для кристаллов высокой
симметрии легко вычислить одни из других. Но для того, чтобы вычислить
характеристические температуры, надо взять среднее по всем направлениям в
кристалле. Например, если имеются скорости су, то нужно вычислить
интеграл где dQ - элемент пространственного угла.
Если заданы упругие постоянные кубического кристалла, то
характеристическую температуру проще всего вычислить из таблиц [9], где
требуемое усреднение уже проделано численно. Характеристическая
температура задаётся в виде
Все буквенные обозначения очевидны, кроме /, которое является функцией
анизотропии кристалла. Эта величина дается в таблицах [9].
Приведенные для LiF данные приводят к значению 0(r)л = 735 °К. Вероятная
точность этого результата составляет больше чем 1 %.
5.5. Значения теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном
давлении связаны между собой следующим термодинамическим соотношением:
где (1 - объемный коэффициент расширения, У -молярный объем, а /г -
изотермическая сжимаемость. Используя данные этой задачи, можно с помощью
(5.5.1) вычислить Cv и затем из табл. 5.5.1 получить 0е (Т).
Необходимо подчеркнуть, что это значение теплоемкости Cv вычислено для
процесса, при котором объем остается постоянным и равным равновесному
объему кристалла в каждой точке. При изменении температуры объем
изменяется, а, значит, Cv не соответствует постоянному объему.
Приближенную поправку на изменение объема можно найти из соотношения
(5.3.5)
(5.4.1)
с ^ PVT
(5.5.1)
(5.5.2)
157
где Ym - предельное значение параметра Грюнайзена при высоких
температурах; можно считать, что это та величина у, которая приводится в
