Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
графика Ср в области 60 - 75 °К. График зависимости
lg (ДСРТ2) от 1 /Г для полученных таким образом значений ДСр
(для твердого криптона) показан на рис. 5.17.1.
В результате получается энтальпия образования вакансий, равная 1770 кал ¦
моль'1 ¦ град-1. Анализ данных о термическом расширении приводит к весьма
близкому результату [62].
5.18. а) В общем случае можно показать [63], что при достаточно высоких
температурах ангармоническую составляющую теплоемкости при постоянном
объеме можно задать в виде
Рис. 5.17.1. Зависимость lg (ЛС;,Г2) от l/Т для твердого криптона.
С, CvrapM -
'ангары
= 3 NkAT.
(5.18.1)
166
Вычислив Сг,гаря из формулы для в",, используя табл. 5.1.1 (на стр. 154),
а затем построив график зависимости АС от Т (рис. 5.18.1), найдем, что
равенство (5.18.1.) удовлетворяется в пределах ошибок измерений Cv. По
наклону прямой определяем величину А:
А = (6,2 ±0,6)- 10 5 град-1.
б) Если ангармоническая составляющая теплоемкости задана уравнением
(5.18.1), то соответствующий вклад в энтропию будет равен
АС. нал гатш ¦град1
ОМ
0.05
AS
ангарм
-S
ЛС.
ангар" dT = 3ffkAT'
(5.18.2)
да*
о
zoo
ГК
Рис. 5.18.1. Ангармонический вклад в теплоемкость кристаллического
германия.
Выражение для энтропии ансамбля гармонических осцилляторов при высоких
температурах можно легко вывести из уравнения (5.2.1). Получаем
/
SIipa=3Nk\l - ln^
Отсюда следует, что с___________с _ дс
° '"'гарм *-1*",ангарм
= -3Nk\n 1 -+
Av,
'¦ -¦ 3Mk -- v<r
(5.18.3)
(5.18.4)
Здесь ангармонический вклад рассматривался как температурно зависимый
сдвиг среднего геометрического значения частоты. Сравнивая выражения для
AS (5.18.2) и (5.18.4), найдем
А =
д In vg
~дТ
(5.18.5)
Чтобы найти полный сдвиг частоты vg при нагревании кристалла от 100 до
700°К, необходимо отдельно вычислить сдвиги, обусловленные изменением
объема и изменением температуры. Сдвиг vg, вызванный изменением объема,
задается выражением
&V
Уоэ-у. (5.18.6)
Подстановка численных значений в правую часть уравнения
(5.18.7) дает следующее значение: 100f--) = - (0,77 ± 0,03)%.
Сдвиг vg, вызванный температурным изменением, задается уравнением
(5.18.5) в виде
Av"
= - А АТ.
(5.18.7)
167
При А = (6,2 ± 0,6) ¦ 10 5 град-1 имеем: 100 (-) = (-3,7 ±0,4) %,
\ Vff Jj)
I Ave \
и, следовательно, 100 -- = (-4,5 ± 0,4)%.
\ Vg /полн
Этот результат хорошо согласуется с результатом, полученным путем
непосредственного наблюдения за изменением частоты при изменении
температуры для некоторых нормальных мод решетки германия.
5.19. В настоящее время не существует строгой теории теплопроводности
твердых тел. В то же время из анализа соответствующих экспериментальных
данных можно извлечь сведения о некоторых характеристиках
теплопроводности. Существует неточное, но удобное соотношение для
теплопроводности твердого тела:
К = 1/sCvcA, (5.19.1)
где Cv - теплоемкость, е -средняя скорость распространения волн в
решетке, а Л -средняя длина их свободного пробега [64].
Мы уже видели, что при низких температурах Cv можно разложить в ряд
(см. формулу (5.3.2)). Это значит, что
для анализа данных экспериментов при низкой температуре на основе формулы
(5.19.1) удобно строить график зависи-l°/(i мости К/Т3 от Т. Этот
график показан Рис. 5.19.1. Зависимость на Рис- 5.19.1. Для каждого
из образцов
К/Т3 от Т для LiF. К/Т3 стремится к постоянному значению
в области Т <_ 7°К. Так как характеристическая температура для LiF равна
735 °К (см. задачу 5.4), то в области Т< 0/5О"а 15°К Cv должно задаваться
первым членом выражения (5.3.2) с точностью, большей 1%. Отсюда следует,
что резкое убывание К/Т3 при Т> 7°К вызывается изменением отличных от Cv
величин.
Средняя скорость волн решетки слабо зависит от температуры, но средняя
величина свободного пробега должна изменяться как 1/Т [64], если величина
Л по порядку величины близка к раз-, мерам образца.
Г рафик зависимости К/Т3 (Т <. 7 °К) от размеров образца для образцов LiF
представляет собой прямую линию (график не приводится). На нем хорошо
видны граничные условия для К при низких температурах. Детальный анализ
[65] приводит к выводу, что
/С = (0,21 ± 0,02) бТ3 вт ¦ смг1 ¦ градЛ
где б - ширина образца.
5.20. При промежуточных и более высоких температурах термическое
сопротивление диэлектрика в основном определяется
168
рассеянием тепловой энергии, вызываемым взаимодействием волн решетки (т.
е. взаимодействием фононов). При достаточно высоких температурах (Т^(c))
вероятность рассеяния становится пропорциональной Т. Это можно увидеть
непосредственно из следующих соображений: Cv стремится к постоянному
значению, зависимость средней скорости от температуры несущественная и,
следовательно, К в выражении (5.19.1) сильнее всего зависит от Л, которая
в свою очередь зависит от l/Т (см. задачу 5.19).
Доказательство, опирающееся на модель Дебая [64], показывает, что ниже
классической области теплопроводность должна экспоненциально убывать при
