Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(5.7.1) находим v2=l,181026 сект2.
5.11. Моменты v" различных порядков можно привести к одному
и тому же порядку, взяв от них корни п-й степени. Так как эти моменты
являются различными средними одного и того же распределения G(v), то
можно ожидать, что при возрастании п их корни п-й степени будут
изменяться монотонно. Корни этих моментов для K.CI равны
v = 3,63• 1012 сек-1, j/v2 = 3,81 ¦ Ю12 сек-1, j/v4 = 3,64 • 1012 сек¦1,
]/"V6 = 4,25 ¦ 1012 сек-1.
Отсюда сразу видно, что v4 несовместим с остальными тремя моментами.
К такому же выводу можно прийти более точным методом, используя модель
Дебая и принимая за исходные уравнения
(5.1.1) и (5.1.2).
Если Vo (п) - максимальная частота в дебаевском распределении, обладающая
таким же моментом п-го порядка, что и действительное распределение в
кристалле, то можно показать, что
Vo (п) =
n-f 3
I /п
при п>-3 и пф 0. На самом деле,
vo(-3)= Iim \D(ri) = л-- 9
Vo (0) =lim Vo (n) =e]/3\g.
n - 0
(5.11.1)
(5.11.2)
(5.11.3)
Из данных для KCI находим
Vo (1) = 4,84 ¦ 1012 сек-1, Vo (2) == 4,92 ¦ 1012 сек-1,
6 Задачи по физике
vd (4) = 4,50-1012 дат1, Vd (6) = 5,11 ¦ 1012 сек_I.
161
Построив график зависимости vD(n), можно убедиться, что ул(4) {а
следовательно, и v4) не может быть верным.
5.12. Так как численные значения характеристических температур сильно
отличаются друг от друга, то необходимо прежде всего привести их к такому
виду, чтобы удобно было сравнивать их температурные зависимости. Самыми
удобными являются:' параметр приведения в? и график зависимости вс/в? от
Г/0Такой график показан на рис. 5.12.1.
Общий вид температурной зависимости 0е (Г) для любого элемента разбирался
в задаче 5.5. Две из кривых одинаковы и
имеют резкий минимум. Отклонения 0е (Т) от постоянного зна-чения
представляют собой отклонение действительного частотного распределения от
условного де-баевского распределения. Отсюда следует, что одинаковые
кривые для элементов I и II означают одинаковость типов их частотного
распределения.
Крутизна убывания 0е (Г) по мере роста Т от 0°К соответствует скорости, с
которой действительное распределение начинает отклоняться от дебаевско-го
распределения за пределами континуального рассмотрения. Кроме того, можно
сделать некоторые общие выводы из сравнения кривых 0е (Г). Например,
одной из возможных причин отличия формы кривой 0е (Г) для элемента III
является то, что в его частотном распределении плотность мод, достигаемых
на высоких частотах, относительно более высокая.
5.13. В процессе решения предыдущих задач показано, что 0е (Г) можно
представить при низких температурах в виде степенного ряда (5.3.3), а при
высоких- формулой (5.10.2). Предельное значение 0^, связано со вторым
моментом уравнением
(5.7.1), а коэффициенты А' и В' в уравнении (5.10.2) -с отношениями
моментов [57]:
0.4
Щс
Рис. -5.12.1. Зависимость 0с/0^ от Т/в" для кристаллов германия (I),
кремния (II), алмаза (III).
А'= -
100 V(v2)3
25
21
1400 \ (v2)3 81
100Л' . (5.13.1)
Аналогично можно представить характеристические температуры,
соответствующие фактору Дебая - Валлера 0м (Т), в виде степенных рядов
[58], которые мы приведем без выводов и без доказательств.
162
При низких температурах
ем (Т) = 0" |l + 6,580 [^1 - j +...}, (5.13.2)
а при высоких температурах
вм(Т) = в
где
м
I 7200 А0"/
- 1
/вм\4 \т +
\М (-2)
(c)о
с Avd (-3)
(5.13.3)
(5.13.4)
300
too
200
J00 Т, "К
Рис. 5.13.1. Зависимость характеристических температур 0е (Г) и 0м (Т)
для меди.
-о k k
По данным для меди можно теперь вычислить 0q, 0^, 0" вю1 (Т) и 0м (Т) в
области Т>0/2л и (Т) при очень низких температурах (~ Т<
<0/50). Результаты вычислений J, представлены на рис. 5.13.1. Пунк- зцоУ
тирные участки кривых соответ- п ствуют тем областям, для которых нет
разложения в ряды. Для этих областей нужны более сложные интерполяционные
методы [59].
Из рисунка видно, что характеристические температуры, соответствующие
разным типам колебаний, могут значительно . различаться между собой.
5.14. Спектры оптического поглощения кристаллов льда показывают, что в
кристалле сохраняется тождество молекул. Это до некоторой степени
затрудняет исследование колебательных свойств, потому что мы не можем
сказать априори, что происходит с вращательными степенями свободы молекул
решетки. Но некоторые выводы можно сделать на основании температурной
зависимости 0е (Т).
В формулу для 0е (Т) входит /V - число атомов в кристалле, так как оно
определяет полное число нормальных мод. В случае льда их полное число
равно 9NA. Однако некоторые из мод (например, внутримолекулярные
колебания порядка 1600, 3100 или 3200 см1) отвечают столь высоким
частотам, что они не будут возбуждаться в кристалле сколько-нибудь
заметно. Значит, можно ожидать, что при вычислении 0е (Т) удобнее
использовать меньшее число нормальных мод (разумеется, нижний предел
должен быть 3Na).
На рис. 5.14.1 построены графики 0е (Т) для трех колебаний: 3Na, 6Na и
