Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 11.2.1
т, °к 10 20 30 60
Z.3Kcn, вгп- ом- град~г 1,7- 10-а 0,7- 10"8 1,0- 10 " 1,2- 10-а
11.3. Считая серебро одновалентным металлом со сферической поверхностью
Ферми, вычислить следующие величины:
1) энергию Ферми и температуру Ферми;
2) радиус kF сферы Ферми в ft-пространстве;
3) скорость Ферми;
4) площадь поперечного сечения поверхности Ферми;
5) циклотронную частоту в поле Н = 5000 э;
6) среднюю длину свободного пробега электронов при комнатной
температуре и вблизи абсолютного нуля температур;
*) Р. М. Lee (University of Lancaster).
68
7) радиус циклотронной орбиты в поле Н = 5000 э;
8) длину ребра кубической элементарной ячейки;
9) длину векторов обратной решетки первых двух координационных сфер в
ft-пространстве;
10) объем первой зоны Бриллюэна.
Использовать в расчетах следующие данные для Ag: плотность
10,5 г смг3; атомный вес А = 107,87, удельное сопротивление р = 1,61 ¦
10 е олс ¦ слс при 295 °К и 0,0038-10~(r) ом-см при 20 °К-
11.4. Показать, что средняя энергия Ш, приходящаяся на одну частицу при 0
°К для электронов, подчиняющихся статистике
Ферми- Дирака, равна 8 = 3/s?F(0), где ^(0) -энергия Ферми при Т = 0 °К-
Полагая Ш (Т) (среднюю энергию электрона при конечной температуре) равной
найти величину отношения (Cv)pD/(Cv)K" для электронного газа с энергией
Ферми, равной 7 эв. (Cv)fd - удельная теплоемкость газа, состоящего из
частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака, a (С")кл - удельная
теплоемкость газа, подчиняющегося классической статистике.
11.5. Вычислить ток термоэлектронной эмиссии от вольфрамовой проволоки
длиной 3 см и радиусом 1 мм, нагретой до 2 000 °С (работу выхода <р для
вольфрама принять равной 4,5 зв).
11.6. Показать, что электромагнитная волна, падающая на поверхность
металла, быстро затухает по мере проникновения в металл (скин-эффект).
Вычислить классическую глубину скин-слоя и показать, что она значительно
меньше средней длины свободного пробега в чистом металле при низких
температурах.
11.7. Показать, что когда к металлу приложено магнитное поле Н, волновой
вектор ft данного состояния изменяется, описывая в ft-пространстве
орбиту, определяемую пересечением энергетической поверхности плоскостью,
перпендикулярной полю Н. Показать, что циклотронная эффективная масса для
данной орбиты равна
где А - площадь этой орбиты в ft-пространстве, а 8 - энергия.
11.8. Найти давление газа электронов, подчиняющихся статистике Ферми-
Дирака. Вычислить величину давления для случая меди.
11.9. Пользуясь классическими методами, вычислить частоту продольных
плазменных колебаний в электронном газе с однородным положительно
заряженным фоном. Как, по вашему
69
мнению, повлияет на результат квантовомеханическое рассмотрение этой
задачи?
11.10. Согласно простой модели одновалентного металла, состоящего из
точечных положительных атомных ядер, погруженных в однородный электронный
газ (модель "желе"), средняя энергия, приходящаяся на один электрон,
равна
где л -радиус сферы, содержащей один электрон.
Найти равновесное значение г0, модуль всестороннего сжатия В при 0 °К и
скорость звука.
*11.11. Приложенное переменное гармоническое поле (частоты со) вызывает
возмущение плотности газа свободных электронов. Ограничиваясь членами
первого порядка по возмущению, показать, что реакция электронного газа на
такое возмущение описывается диэлектрической проницаемостью, равной
*11.12. Пользуясь результатом задачи 11.11, показать, что статическое
возмущение влияет на диэлектрическую проницаемость, в результате чего
происходит полная экранировка внешнего длинноволнового (co-vO) поля, так
что при q0
где № = 4ле2 N (&F) [/V (Ш,.) - плотность состояний на поверхности
Ферми]. Этот результат известен как приближение Томаса - Ферми.
Вывести отсюда, что возмущающий потенциал точечного заряда eZ в
электронном газе имеет вид
Вычислить радиус экранирования в металле со свободными электронами при
плотности электронов, соответствующей Ag (см. задачу 11.3).
*11.13. Показать, что для модели свободных электронов металла
диагональная компонента тензора сопротивления не зависит от магнитного
поля (т. е. что эффект поперечного магнето-сопротивления отсутствует).
*11.14. а) Объяснить смысл времени релаксации т и обсудить вопрос о том,
при каких условиях это понятие применимо.
б) Многие кинетические явления в благородных металлах можно описать
простой двухзонной моделью, в которой двумя группами носителей являются
области "шеек" (индекс 1) и "вздутий" (индекс 2) поверхности Ферми.
г(д, 0)-И + ~,
V(r) = - exp (-кг).
70
Вывести из данной модели выражение для отклонений от правила Матиссенй
при высоких температурах. Для этого надо рассмотреть следующие вопросы.
1) Показать, что выражение для остаточного сопротивления сплава можно
записать в виде
- = ВхХх -f Вгх2,
где и т2 - времена релаксации двух групп носителей. Какими параметрами
этого сплава определяются коэффициенты Вх и В2?
2) Предположить, что время релаксации, обусловленное элек-трон-
