Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вывести соотношение Линдемана между 0 и 7у.
/ Т f \1/2
73
12. Энергетическая зонная структура*)
12.1. Электрон движется в одномерном периодическом потенциальном поле,
создаваемом атомами, находящимися на расстоянии d друг от друга.
Показать, что волновые функции электронов могут иметь вид ц (*) exp
(ifoc), где и (*) - функция той же периодичности, что и потенциал.
Предполагая, что в трехмерном случае волновая функция имеет аналогичный
вид: и (г) exp (iftr), определить значения волнового вектора k для
гранецентрированной кубической решетки.
12.2. Пусть в трехмерной кубической решетке (в единице объема) содержится
N атомов, причем каждый из атомов имеет Z валентных электронов.
Вывести выражение для радиуса сферы Ферми (в обратной решетке) в
приближении свободных электронов. Для случая двумерной квадратной решетки
построить (в обратной решетке) поверхность Ферми для атомов с одним,
двумя, тремя и четырьмя валентными электронами. Изобразить поверхность
Ферми в первой зоне Бриллюэна для случая, когда на атом приходится четыре
электрона.
12.3. Показать, что на границах первой зоны Бриллюэна волновые функции
свободного электрона в одномерной периодической решетке с периодом d
вырождены. Показать, что если каждый атом вносит малое возмущение, то в
первом приближении по возмущению волновые функции на границе зоны
пропорциональны
лях ппх . .
sm-^- и cos - (л -целое).
12.4. Показать, что для случая одномерной решетки существование
энергетических разрывов на границе зоны Бриллюэна эквивалентно условию
брэгговского отражения электронных волн.
12.5. Рассмотреть энергетические уровни в одномерной решетке с периодом
d, где потенциальная энергия имеет вид
V = V0 при -
V = 0 при O^x^d - b,
V (x-\-d) = V (jf).
Определить значения энергии для верхнего края первой зоны и нижнего края
второй зоны на границе зон, если V0 = 0,1; d = 8 и b = 3 ат. ед.
12.6. Показать, что в случае, когда движение электрона в кристалле можно
рассматривать как распространение плоской волны exp(iftr), квант Hk
соответствует импульсу. Показать, что если на кристалл действует внешнее
электрическое поле, то
*) Р. М. Lee (University of Lancaster).
74
скорость изменения импульса в зависимости от времени такова, что электрон
может рассматриваться как частица, обратная масса которой является
тензорной величиной, имеющей компоненты
12.7. Обсудить различия между металлом, полупроводником и диэлектриком с
точки зрения структуры их энергетических зон. Дать схематическое
изображение поверхности Ферми двумерного кубического кристалла, который
имеет небольшое число носителей эффективных зарядов на атом (полуметалл).
Объяснить это явление с точки зрения картины энергетических зон.
12.8. Нижняя граница зоны проводимости висмута характеризуется тензором
обратных эффективных масс вида
Найти компоненты этого тензора и определить характер энергетических
поверхностей вблизи нижней границы зоны проводимости.
12.9. Найти выражение для структурного фактора и вычислить его для
решетки, имеющей гексагональную плотноупако-ванную структуру. Показать,
что для этой структуры ширина энергетической щели для состояний,
соответствующих гексагональной грани зоны Бриллюэна, обращается в нуль.
12.10. Показать, что уравнение Шредингера для волновой функции (г)
можно записать в виде
где индекс п относится к п-Pi энергетической полосе, а функция Unk{r)
имеет периодичность решетки.
Определить зависимость ё"(к) вблизи края зоны (k = 0), выразив правую
часть через Вп (0) и матричные элементы импульса с функциями и,0 (г) для
всех энергетических полос г. Получить отсюда компоненты тензора обратных
эффективных масс (через те же матричные элементы импульса). Показать, что
при учете взаимодействия электронов двух разных энергетических полос
эффективная масса дырки, соответствующая нижней полосе, и эффективная
масса электрона, соответствующая краю верхней полосы, будут равны по
величине.
*12.11. Доказать теорему Блоха для трехмерной решетки.
*12.12. Используя разложение волновой функции электрона в ряд по плоским
волнам, найти вид детерминантного уравнения для определения собственных
значений энергии в случае одномерного кристалла. Найти собственные
значения энергии для последовательных приближений, получаемых при
увеличении
(iP+Ш + у (r)) Unk (r) = gn {k) Unk (r))
75
числа плоских волн в разложении, если в таком кристалле потенциал с
периодом п имеет вид
V (х) = -3 - 2 cos 2х.
*12.13. Используя для электронов атомов в объемноцентри-рованной
кубической решетке приближение сильной связи и предполагая при этом, что
s-функции могут быть взяты в качестве электронных атомных волновых
функций (атомных орбиталей), показать, что энергетические поверхности
такой системы при ft = 0 имеют сферическую симметрию. Определить
эффективную массу у края зоны (вблизи Л = 0).
*12.14. Пользуясь приближением сильной связи, показать, что линейная
цепочка атомов с одним свободным концом может иметь уровни в запрещенной
