Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
зоне, т. е. в щели между нормальными зонами (в трехмерном случае это
отвечает учету атомов на поверхности).
*12.15. Рассмотреть энергетические уровни и поверхностные состояния
системы, описанной в задаче 12.14, в случае, когда поверхностный атом
является примесным.
*12.16. Пользуясь приближением сильной связи, найти собственные значения
энергии нижнего края зоны для случая одномерной решетки с периодом п,
если ее потенциал имеет вид
Предположить, что атомные волновые функции такие же, как и у простого
гармонического осциллятора,
где а - подгоночный параметр, выбираемый так, чтобы энергия, отвечающая
состояниям Y (*), была минимальной.
*12.17. Энергетические уровни в верхней части валентной зоны в германии
при ft = 0 являются вырожденными. Детерми-нантное уравнение для энергий
состояний вблизи ft = 0 можно получить, используя теорию возмущений; оно
имеет вид
где # -энергия состояний k = (kx, ky, kt)\ А, В, С -компоненты тензора
обратных эффективных масс.
Рассмотреть ход изменения энергии вблизи ft = 0 вдоль основных
направлений [100], [111] и др. в ft-пространстве и для произвольного
направления. Показать, что поверхности постоянной энергии вблизи ft = 0
отличаются от сферы.
*12.18. Доказать, что функции Ванье и собственные функции оператора
импульса правильной трехмерной решетки получаются одна из другой
преобразованием Фурье. Показать также, что
V (*) = -3 - 2 cos 2х.
У (х) = ехр (-ах2),
Akx+B (kl + kl)-$
Ckykx
Ckzkx
Ckxky Aky-\- В (kz-\-kx) -Ш CkZky
Ck xkz
ckykz = o,
Ak2 В (kx ~\-ky) Ш
76
функции Ванье для атомов различных узлов решетки ортогональны.
*12.19. В двумерной квадратной решетке с постоянной решетки d для точки
(лId, n/d) в зоне Бриллюэна вырождаются четыре плоские волны.
Показать, что внутрикристаллическое поле в решетке снимает это
вырождение. Определить в этом случае число и симметрию новых состояний.
*12.20. Рассчитать энергетическую зонную структуру алюминия, исходя из
следующих данных:
где т*= 1,1716т. Потенциал V имеет только два ненулевых коэффициента
Фурье [26]:
V/[ni](/CB) = 0,0295 Rу при /С"Ц[111],
V[200] (/и = 0,0550 Ry при /Гл 1 [200].
Значения V {Кп) равны при одних и тех же значениях |/Сп|-Параметр решетки
dAi = 7,633 А.
Выразить волновую функцию через набор четырех плоских волн, описывающих
вырожденное состояние в точке (V2, 0, 1) зоны Бриллюэна.
13. Свойства однородных полупроводников*) [27]
13.1. Обсудить качественно причины того, почему так легко осуществляется
модуляция проводимости в полупроводниках и так трудно - в металлах.
13.2. Вывести закон действующих масс для концентраций основных и
неосновных носителей в полупроводнике, предполагая, что для носителей
тока в зоне проводимости и в валентной зоне, так же как для классических
свободных частиц, применима статистика Максвелла - Больцмана и что
функция плотности состояний параболическая для обеих зон. Эффективные
массы т% (для электронов) и т*р (для дырок) считать известными и
постоянными.
13.3. Найти энергию Ферми для собственного полупроводника, принимая, что
статистика Максвелла - Больцмана применима и для зоны проводимости, и для
валентной зоны.
13.4. Явления, возникающие при добавлении в полупроводник донорных или
акцепторных примесей, можно объяснить, предполагая, что каждый атом
донора (или акцептора) приводит к появлению локального энергетического
уровня в запрещенной зоне чуть ниже дна зоны проводимости (или чуть выше
потолка валентной зоны), с которого электрон (или дырка) легко
возбуждается при термической ионизации.
*) J. P. McKelvey (Pennsylvania State University).
77
Обосновать эту картину исследованием водородоподобного атома,
погруженного в однородную изотропную диэлектрическую среду. Атом донора
считать пятивалентным, полагая, что внутри решетки четыре валентных
электрона осуществляют химическую связь, а свободный пятый валентный
электрон находится в куло-новском поле положительного ионного остова
(примесного центра); диэлектрическую проницаемость среды считать равной
диэлектрической проницаемости полупроводникового кристалла (е=16 для Ge,
е = 12 для Si). В частности, рассчитать размер электронных орбит и
энергию ионизации основного состояния. Можно использовать боровскую
теорию водородного атома с круговыми электронными орбитами.
*13.5. Показать, что вследствие принципа Паули и двукратного спинового
вырождения уровня основного состояния донора функция распределения
электронов на этих уровнях имеет вид
tf(S)=4{ 1+|ехр [(S-SjO/ЛГ]}'1.
13.6. В полупроводнике, в котором все донорные и акцепторные атомы
ионизованы, найти концентрации электронов п0 и дырок р0, выразив их через
концентрации донорных и акцепторных примесей Nd, Na и через концентрацию
собственных носителей щ.
13.7. Найти выражение для энергии Ферми в примесном полупроводнике при
условии, что уровни донора и акцептора полностью нонизованы; обсудить
условия, при которых это предположение законно. Принять, что статистика
