Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
направления вектора р. Такое рассмотрение должно проводиться заново для
каждого кристалла. Точное вычисление теплоемкости представляет собой
поэтому крайне неблагодарную задачу.
Существенное упрощение проблемы было найдено Дебаем. Он предложил не
учитывать анизотропию и не рассчитывать |р|тах> а выбирать верхний предел
интегрирования в (11.39) таким образом, чтобы получать правильное
значение теплоемкости (11.45) при высоких температурах. Получаемая при
этом формула нестрога, но приводит к правильному результату как при
низких, так и при высоких температурах. Она позволяет получать вполне
приемлемые количественные оценки и в промежуточной области температур,
где формулу Дебая можно рассматривать как интерполяционную.
Вычисление интеграла (11.39) можно произвести только после установления
закона связи между \р\ и Е. Для этого мы снова воспользуемся (11.40),
которая при невысоких температурах хорошо выполняется. Погрешности,
возникающие при высоких температурах, мы учтем автоматически, когда
потребуем, чтобы полученная формула при повышении температуры переходила
в (11.45).
Действуя указанным образом, мы снова придем к (11.41), но верхний предел
интегрирования должен быть теперь разумно выбран. Решение этой задачи
потребует некоторых усилий. Переходя в (11.41) от энергии
298
Глава 11
к частоте, получим
k^max
Е - Еа = 3
[ ---------------------u>2du>. (1-46)
J exp(Гш кТ) -1 v '
2tt2s3 J exp(Huj/kT) - 1 о
Здесь Huj определяет энергию фонона, а множитель [exp(foj/fcT)-l] 1 -
число фононов в одном состоянии. Остальные члены этой формулы определяют,
следовательно, число состоянии. Это число равно
k^max g
at 3 / 2 j ^тах
Ncoct - У w •
о
Полученное число нужно приравнять числу степеней свободы 3N. Поэтому
OJmax = s(6TT2N)1/3, (1-47)
где N - число атомов в единице объема.
Выразив 5 через cjmax и, введя его в (11.46), получим
Е =
k^max
9 N
, / -------------------и>2 du). (11.48)
wmax J exp(tuo/кТ) - 1
Входящий в эту формулу интеграл в элементарных функциях не выражается.
Чтобы его упростить, введем уже знакомую нам безразмерную переменную х:
х = ^. (11.49)
Заменяя си на х, получим
. З^тах
E = 9N/kT\ [ (11.50)
(fiwmax)3 / е "1
Вместо cjmax в формулу для энергии обычно вводят температуру Дебая,
определяемую формулой
HiO max = квП. (11.51)
§57. Теплоемкость кристаллических решеток
299
Нетрудно видеть, что вместо хтах можно писать З^тах - Fttdmax/ кТ = 0
]j/T.
Формула для энергии тепловых колебаний принимает при этом вид
где функция /(T/Qd) определяется выражением
eD/T
х3 dx ех -I'
(11.52)
(11.53)
Эта формула является окончательной. При желании из нее можно получить
формулу для теплоемкости кристаллической решетки. График теплоемкости,
рассчитанной по Дебаю, приведен на рис. 120. При высоких температурах
отношение Т/0?> велико, a Od/T мало, так что
eD/T qd/t
f(T\_ j x3 dx ^ j x3 dx _ If Qp \ 3
V0D; J ex-l~ J x - 3 V T /
о 0
В этом случае формула (11.52), как и следует ожидать, переходит в
(11.45).
График, представленный на рис. 120 показывает, что классическая формула
для теплоемкости применима не только при Т/0?> 1, но
и при Т/0?> " 1 (при Т = 0?> теплоемкость кристалла всего на 5%
отличается от классического значения).
При низких температурах интеграл (11.53) может быть распространен до
бесконечности. Как мы знаем, он равен тг4/15. Подставляя это значение в
(11.52), найдем
E=\n -тг4 (т^)3 кт.
5 V 0?> /
Подстановка в эту формулу значений 0^ из (11.51) и cjmax из (11.47)
приводит к (11.43). Мы убедились, таким образом, в том, что формула Дебая
(11.52) правильно описывает энергию (и теплоемкость) кристаллической
решетки как при низких, так и при высоких температурах.
300
Глава 11
Скажем несколько слов о выборе сотах. Мы произвели его из формальных
соображений. Покажем, что к близким значениям сотах приводят соображения,
основанные на представлениях о зонах Бриллюэна. Как мы знаем, предельное
волновое число, соответствующее краю этой зоны, для линейной цепочки
равно
^тах = 7Г/а.
0,5
T/eL
При кубической решетке это значение применимо и для трехмерного случая, а
для кристаллов других симметрий справедливо по порядку величины. Мы
вправе поэтому ожидать, что должны выполняться следующие оценочные
формулы:
(11.54)
Рис. 120. Зависимость теплоемкости кристалла от температуры по Дебаю.
сип
s\kn
= 3Еъ snN1/3.
Сравнивая это выражение с (11.47), мы, действительно, наблюдаем их
близкое согласие. Формула (11.51) позволяет перейти от оценочных формул
для cjmax к соответствующим формулам для температуры Дебая.
В табл. 7 приведены дебаевские температуры некоторых веществ.
Таблица 7. Дебаевские температуры некоторых кристаллических веществ
Вещество (c)в, к Вещество (c)в, к
Алмаз 1850 Кремний 650
Алюминий 375 Медь 340
Железо 360 Свинец 95
§ 58. Решеточная теплопроводность
При наличии градиента температуры в кристаллах, как и во всех других
телах, возникают тепловые потоки. Материальными носителями этих потоков
