Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
числом частиц, т. е. описываются той же формулой (8.16), что и фотоны
теплового излучения.
Имеются, однако, и отличия. Световые волны поперечны и обладают двумя
возможными значениями поляризации, в то время как у акустических волн их
три. Скорости распространения световых волн от поляризации не зависят, а
звуковых - зависят: поперечные акустические волны распространяются
медленнее продольных. Наконец, вместо "настоящего" импульса фотонов мы
должны научиться работать с квазиимпульсом фононов.
Как мы уже знаем, в единице объема в интервале импульсов от \р\ до \р\ +
\dp\ помещается
состояний. Стоящее в этой формуле число 3 равно числу возможных
поляризаций (числу проекций спина, равного единице). Согласно (8.16),
каждое из этих состоянии заполняют
фононов с энергией (на один фонон) Е.
Полная энергия звуковых колебаний решетки равна, следовательно,
1
(11.38)
exjp(E/kT) - 1
|р| max
О
§57. Теплоемкость кристаллических решеток
295
Член Е0 характеризует энергию нулевых колебаний, которая в данном случае
не представляет интереса, так как не вносит вклада в теплоемкость.
Рассчитывая энергию теплового излучения, мы получали очень похожую
формулу. Отличие состояло в том, что в ней стоял множитель 2 вместо 3, а
интегрирование производилось не до |р|тах, а до бесконечности, поскольку
импульс фотонов может быть сколь угодно большим1.
Наиболее просто производится расчет при низких температурах. В этом
случае возрастание стоящего в знаменателе экспоненциального множителя
ех.р(Е/кТ) делает несущественным вклад, который вносит в интеграл область
больших \р\, так что интеграл можно распространить до бесконечности.
Связь со и \р\ у звуковых волн не так проста, как у световых, но при
малых \р\, как мы видели, скорость звука постоянна, что существенно
упрощает расчеты. Пренебрежем, наконец, различием скоростей продольных и
поперечных волн. Обозначая скорость звука через s, найдем
S = f = s <1L40>
Формула (11.39) в этом случае дает
оо
[-----, Е ,------E2dE. (11.41)
J ещ>(Е/кТ) - 1 V ;
Е - Е0 ~ 3
2тг2h3s3 J ехр(Е/кТ)-1
О
Вводя вместо Е безразмерную переменную х:
Е/кТ = х,
найдем
о 7,47^4
Е-Е0 =
27T2h3sK
f х3 dx
J ex - 1'
o3
0
Как мы уже знаем, входящий в эту формулу интеграл равен 7г4/15.
Следовательно,
Е-Е0 = (низкие Т). (11.42)
1Ршах определяется из условия, что 4/37гр^ах равно объему зоны Бриллюэна.
296
Глава 11
Соответственно теплоемкость кристалла, точнее его решеточная
теплоемкость2, равна
с = ~7г2^(низкие Т). (11.43)
5 h3s3
Последние две формулы очень похожи на формулы для теплового излучения и
получаются из них путем замены скорости света с на скорость звука 5 и
умножения на 3/2 (отношение числа возможных поляризаций). Как следует из
вывода, они определяют тепловую энергию и теплоемкость кристаллической
решетки, отнесенные к единице объема.
Если учесть различие скоростей поперечной и продольной 5ц звуковой волны,
формула (11.43) переходит в несколько более точную:
с =
15 ft3
(i+A)
(низкие Т). (11.44)
Перейдем теперь к теплоемкости при высоких температурах. Естественно
ожидать, что при повышении температуры должны становиться справедливыми
классические формулы и на каждую колебательную степень свободы должна
приходиться энергия кТ (по кТ/2 на кинетическую и на потенциальную
энергии). Число степеней свободы решетки равно 3N, где N - число атомов в
единице объема. Отнесенные к единице объема внутренняя энергия и
теплоемкость твердого тела должны поэтому стремиться к значениям
Е -> 3NkT (высокие Т), с -> 3Nk (высокие Т). (11.45)
Эти классические формулы носят название закона Дюлонга и П т и. Опыт
показывает, что они выполняются не слишком хорошо, хотя при оценках ими
вполне можно пользоваться. Основная причина неточного соответствия с
экспериментом заключается в том, что температуры, при которых сохраняется
кристаллическое состояние, "недостаточно высоки", так что многие
кристаллы плавятся до того, как наступает область хорошей применимости
классических формул. Рассчитанные по формуле (11.45) и измеренные
значения теплоемкости приведены в таблице.
2Оптические ветви колебаний, в особенности при низких температурах, почти
ничего
не вносят в теплоемкость кристалла. У металлов вклад в теплоемкость
создают свободные электроны. Этот вклад мы рассмотрим в гл. 12.
§57. Теплоемкость кристаллических решеток 297
Таблица 6. Теплоемкость некоторых элементов
Элемент Расчетное значение теплоемкости, Дж/(г-К) Результаты
измерений
температура теплоемкость Дж/(г-К)
Углерод 2,07 10°С 0,67
280°С 0,97
827°С 1,83
Алюминий 0,92 0°С 0,87
600°С 1,18
Железо 0,44 о°с 0,43
100°С 0,47
Медь 0.39 о°с 0,38
100°С 0,40
Справедливая при всех температурах формула для теплоемкости должна
основываться на (11.39). При этом следует правильно выбирать |р|тах и,
более того, правильно учитывать анизотропию кристалла, что приводит к
изменению структуры подынтегрального выражения (оно записано для
изотропной среды) и к появлению своего верхнего предела для каждого
