Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
множителя. Это и есть искомые функции, существование которых мы, таким
образом, доказали. Исследуем уравнение (12.22). Раскрывая детерминант,
найдем
А - A[,0i(xo + а) + ф2{х о + а)] +
+ \}!)i(xq + а)ф2(хо + а) - ф[(хо + а)ф2(х0 + а)] = 0. (12.23)
Покажем прежде всего, что стоящее во второй квадратной скобке выражение
равно единице. Это выражение равно значению, которое принимает в точке хо
+ а функция
/(ж) = Tpi(x)ip'2x - ф[(х)ф2{х).
Вычислим производную этой функции. Дифференцируя /(ж), найдем
/;(х) = ф1(х)ф2(х) - ф1(х)ф2(х) = фг(х)к2(х)ф2(х) - к2(х)ф1(х)ф2(х) = 0.
314
Глава 12
При вычислениях мы воспользовались тем, что функции фг(х) и ф2(х)
являются решениями уравнения (12.14).
Таким образом, функция /(ж) просто является константой. С помощью (12.7)
нетрудно убедиться, что в начальный момент, а следовательно, и всегда она
равна единице.
Уравнение (12.23) принимает теперь окончательный вид
А2 - Х[ф1(хо + а) + ф2(х0 + а)] + 1 = 0. (12.24)
Введем обозначение
ф±(хо + а) + ф2(хо + а) = 2С. (12.25)
Корни (12.24) равны
Ai,2 = С± ^С2 - 1. (12.26)
Рассмотрим прежде всего случай, когда \С\ > 1. При этом оба значения А
действительны, причем ни одно из них не равно единице. В этом случае
решения Фг(х) и Ф2(х) при переходе через каждый период решетки умножаются
на действительное число, не равное единице, т. е. либо неограниченно
убывают, либо неограниченно возрастают (что соответствует движению
навстречу затухающей волне). Общее решение уравнения Шредингера может
быть представлено в виде линейной комбинации Фг(х) и Ф2(х) и обладает тем
же свойством. В этом случае электронная волна не может беспрепятственно
распространяться по кристаллу, что соответствует запрещенной зоне.
При \С\ ^ 1 удобно положить
С = cos и, (12.27)
где v - новая константа. Имеем при этом
Ai,2 = e±iv. (12.28)
В этом случае решения Фг(х) и Ф2(х) при смещении на период решетки не
изменяют своей величины и просто умножаются на фазовый множитель (12.28).
Случай \С\ ^ 1 соответствует разрешенной зоне.
Функции Ф1 и Ф2 при переходе через период решетки умножаются
соответственно на множители exp(±zz/). Запишем эти решения в виде
Ф1.2 = uk±(x)e±ikx, (12.29)
где к выбрано так, что
к = via. (12.30)
Найденные решения совпадают по форме с функциями Блоха (12.12) (в
одномерной записи).
Множитель ехр(±г/сж) обеспечивает нужное изменение Ф при смещении на
период. Функция и^(х) должна поэтому возвращаться к своему исходному
значению, т. е. быть периодической. Как уже отмечалось, эта функция
(вернее,
§61. Волны Блоха
315
квадрат ее модуля) определяет изменение электронной плотности внутри
ячейки кристалла. Она модулирует по амплитуде и по фазе1 плоскую волну,
которая описывается экспоненциальным множителем в (12.29). Определенная
формулой (12.30) величина к является средним волновым числом электронной
волны.
Произвольное решение уравнения (12.14) является линейной комбинацией волн
Блоха Ф1 и Ф2, движущихся в разные стороны (в трехмерном случае -
наложением волн, распространяющихся во всевозможных направлениях).
Полученный нами результат содержит, таким образом, два утверждения.
Первое из них состоит в том, что электронная волна, распространяющаяся в
кристалле, описывается не простой плоской волной, а волной,
модулированной по амплитуде (и по фазе). Этот результат является вполне
естественным, и его можно было предугадать заранее. Второе утверждение
состоит в том, что энергия электронов, распространяющихся в кристалле,
может принимать не любые значения, а лишь значения, лежащие в области
разрешенных зон.
Исследуем границу между разрешенными и запрещенными зонами. Как ясно из
(12.26), такие переходы происходят в точках С2 = 1. Это означает, что при
движении через разрешенную зону С меняется от -1 до +1 или от +1 до -1, a
v, в соответствии с (12.27), от -7г до +7г или от 7г до -7г. Сопоставляя
этот результат с (12.30), мы приходим к еще одному важному выводу.
Переходы между запрещенными и разрешенными зонами происходят на границах
зон Брил люэ-н а, т. е. при волновом числе, соответствующем границе зон
Бриллюэна, волны перестают распространяться в кристалле2. Аналогичная
ситуация имеет место при отражении рентгеновских лучей. В самом деле, из
оптики рентгеновских лучей известно, что электромагнитные волны плохо
проходят через кристалл (отражаются от него) при выполнении условия
Брэгга - Вульфа
2ds\n6 = пХ. (12.31)
В одномерном случае каждая кристаллическая плоскость изображается точкой
и распространяющаяся вдоль линии точек волна движется вдоль этой линии,
так что 6 = тг/2. Заменяя d на а и А на 2тг/к, найдем, что отражение волн
наступает при
(12.32)
т. е. как раз на границах зон Бриллюэна.
Периодические функции и^±, вообще говоря, комплексны. Их амплитуда
определяет изменение электронной плотности, а фаза - отклонение реальной
фазы электронной волны от равномерно меняющейся фазы плоской волны.
Содержащееся в и^± периодическое изменение фазы нас в дальнейшем
