Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
изображенных сплошными линиями, можно провести множество других систем
параллельных плоскостей; одна из таких возможных систем представлена
плоскостями, изображенными пунктиром.
§54. Симметрия кристаллов
281
Каждая система плоскостей охватывает все узлы решетки. Чем плотнее
расположены узлы решетки на плоскостях, тем больше расстояние между
плоскостями. Наибольший интерес представляют кристаллические плоскости с
большой плотностью узлов.
Расположение кристаллических плоскостей принято характеризовать индексами
Миллера, состоящими из трех целых чисел. Чтобы получить индексы Миллера,
нужно провести нормаль к исследуемым плоскостям и спроектировать ее на
базисные векторы решетки. Полученные проекции следует умножить на
некоторое число, подобранное так, чтобы все три проекции выражались
наименьшими целыми числами. Более нагляден другой способ нахождения
индексов Миллера, который мы поясним с помощью примера (рис. 113). Найдем
расположение семейства плоскостей с индексами (2 3 2). Преобразуем тройку
индексов Миллера в обратную:
1/2, 1/3, 1/2, и приведем ее к целым числам, умножив на общее наименьшее
кратное знаменателей, в нашем случае на 6. При этом получим числа 3, 2,
3. Отложим эти числа на осях координат, как это показано на рисунке, и
проведем через полученные точки плоскость. Эта плоскость и принадлежит к
искомому семейству.
Рис. 112. Две системы параллельных плоскостей, проходящих через узлы
кристаллической решетки.
Рис. 114. Обозначения основных плоскостей в кристалле.
Нетрудно убедиться, что боковые плоскости ячейки кубической системы имеют
индексы (0 01), (010) и (10 0), диагональные плоскости имеют индексы (11
0), (101) и (011) и т. д. (рис. 114).
Мы уже выяснили в предыдущем параграфе, что наиболее выгодны с
энергетической точки зрения плотные упаковки атомов (или ионов).
282
Глава 11
Рис. 115. К расчету объема, приходящегося на каждый ион в кристалле
простой кубической системы.
Легко показать, что с этой точки зрения простая кубическая решетка явно
неоптимальна. Рассчитаем для этого объем, приходящийся на каждый ион в
кубической решетке, и сравним его с соответствующими объемами в других
кристаллических структурах.
В кубическом кристалле каждой элементарной ячейке принадлежат восемь
ионов, расположенных по ее углам.
С другой стороны, каждый ион одновременно принадлежит восьми разным
ячейкам. (В этом нетрудно убедиться, рассматривая, например, рис. 115.
Каждый узел решетки принадлежит четырем ячейкам под плоскостью бумаги и
четырем - над ней.) Поэтому в среднем на ячейку приходится один ион.
Заменяя для простоты ионы твердыми шарами, заметим, что
сторона ячейки а (расстояние между центрами шаров) равна
диаметру
шара d. Объем, приходящийся на каждый ион, равен, следовательно, d3.
Рассмотрим теперь объемноцентрированную кубическую решетку, получающуюся
из простой кубической решетки при установке дополнительного шара в центр
куба. На каждую ячейку приходится теперь 2 шара - один угловой (как в
обычной решетке) и один центральный. Выразим объем решетки через диаметр
шаров. В объемно-центрированной решетке соприкасаются друг с другом шары,
стоящие на главной диагонали куба. Длина диагонали равна ал/3. Эта длина,
с другой стороны, равна d/2 + d + d/2 = 2d. Приравнивая эти значения,
найдем а = 2d^3. Полный объем ячейки равен, следовательно, 8d3/3\/3, а на
каждый ион приходится объем 4с?3/3л/3 ~ 0,77d3. Мы видим, таким образом,
что в объемноцентрированной решетке ионы упакованы существенно более
плотно, чем в простой кубической.
Еще плотнее расположены атомы в гранецентрированной кубической решетке (в
центре каждой грани кубического кристалла находится еще один ион). На
каждый ион в такой решетке приходится объем d3/л/2 (вывод этого
соотношения мы предлагаем читателям в качестве полезного упражнения).
Кристаллы некубических систем в этой книге не рассматриваются.
§55. Колебания кристаллических решеток
283
§ 55. Колебания кристаллических решеток. Звуковые волны. Тепловое
расширение
Изображенные на предыдущих рисунках, например на рис. 111, узлы
кристаллической решетки определяют не фактические, а средние положения
ионов (точнее говоря, атомных ядер). В реальных кристаллах ионы
колеблются вокруг этих положений из-за теплового движения и под действием
проходящих через кристалл звуковых волн. (Под звуковыми волнами в этой
книге мы будем понимать упругие волны любой частоты, от самых низких до
самых высоких, не воспринимаемых человеческим ухом.) Тепловые колебания
атомов путем разложения в трехмерный ряд (или интеграл) Фурье могут быть
сведены к системе плоских волн, т. е. к звуковым волнам, так что
рассмотрение звуковых волн включает в себя проблему тепловых колебаний.
Мы изучим колебания кристалла на одномерной модели: на линейной цепочке,
состоящей из одинаковых атомов.
Заменим действующие между атомами реальные силы услов-ными "пружинками",
обладающи- п~1 п
ми коэффициентами упругости к -
