Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
частично заполненной зоне меняется: состояния, отвечающие движению по
полю, становятся энергетически более выгодными и потому более плотно
заполняются. Кристалл проводит электрический ток. Поэтому частично
заполненные зоны называются зонами проводимости.
Отличие проводников от непроводников, таким образом, сводится к наличию
или отсутствию частично заполненной энергетической зоны. Из сказанного
выше ясно, почему все твердые тела, состоящие из одновалентных атомов
(Li, Na, К, Си и др.), являются проводниками.
Обратимся теперь к двухвалентным атомам (Be, Mg и др.), у которых оба 5-
состояния заняты. Рассмотрим в качестве примера энергетические зоны
бериллия, изображенные на рис. 124. Зона 15 у бериллия очень узка и
полностью занята. Зона 25 также заполнена, так как оба состояния 25 в
атоме бериллия заняты. На уровне 2р у атома бериллия нет электронов (в
основном состоянии). Можно было бы поэтому ожидать, что твердый бериллий
окажется изолятором. Но из рисунка видно, что у бериллия зона 2р (с 6N
свободными состояниями) перекрывается с зоной 25 и, таким образом, из
двух зон 25 и 2р образуется одна общая зона с 8Л^-состояниями, из которых
занято только 27У-состояний. Поэтому бериллий оказывается проводником.
Анализ расположения зон в твердых телах показывает, что все атомы с
одним, двумя и тремя валентными электронами (сверх оболочки инертного
газа) образуют твердые тела с хорошей проводимостью, характерной для
металлов.
Рис. 124. Энергетические зоны бериллия. Косой штриховкой указаны
заполненные электронами уровни.
§61. Волны Блоха
309
Рассмотрим теперь структуру зон у изоляторов. У изоляторов последняя из
занятых зон - валентная зона - полностью занята, а зона проводимости
совершенно пуста. Схема расположения зон у изоляторов изображена на рис.
125.
В качестве примера рассмотрим структуру зон у NaCl. На рис. 126
изображены зоны кристалла NaCl, получающиеся при расщеплении уровня 35
натрия и уровня 3р хлора. Более низкие зоны не представляют интереса, так
как они заполнены.
Кристалл NaCl состоит из ионов Na+ и С1_.
При образовании ионов энергия 35-уровня натрия повышается (затрачивается
энергия на отрыв электрона), а энергия Зр-уровня хлора понижается
(выделяется энергия при присоединении электрона). Поэтому уровни 35 и 3р
пересекаются и электроны уходят из зоны 35 натрия в зону 3р хлора, где
есть 6N свободных мест. Зона 3р оказывается до конца заполненной, а зона
35 - совсем пустой. Расстояние между зонами велико (10 эВ), и спонтанный
переход электронов с нижней зоны в верхнюю при обычных тем-пературах
очень мало вероятен. Поэтому NaCl рис. 125. Расположение оказывается
хорошим изолятором. энергетических зон
Изоляторы представляют собой системы, у у изолятора,
которых число электронов в точности равно числу квантовых состояний в
заполненных зонах. На примере NaCl было показано, что такое равенство
автоматически выполняется в некоторых кристаллах.
На электропроводность кристаллов сильно влияют примеси. Атомы примесей
могут отдавать свои электроны в незаполненную зону или поглощать их из
заполненной. В обоих случаях возникает проводимость. Таким образом,
хорошими изоляторами оказываются лишь достаточно чистые кристаллы.
§ 61. Волны Блоха
Исследуем движение обобществленных электронов в кристалле более
внимательно. Энергетические уровни электронов определяются из уравнения
Шредингера
Зона
проводи-
мости
Валентная
зона
&Ф(г) + V (гЖг) = Еф{т),
(12.7)
310
Глава 12
• Зр Cl
3s Na
г
Рис. 126. Картина расположения верхних энергетических зон в кристалле
NaCl.
где ф - волновая функция электрона, V(r) - его потенциальная энергия в
электрическом поле решетки, а Е - его полная энергия. Рассмотрим свойства
этого уравнения в декартовой системе координат.
Оператор Лапласа, стоящий в первом члене формулы, является
дифференциальным оператором и от выбора начала координат не зависит.
Потенциальная энергия, входящая во второй член левой части уравнения,
представляет собой периодическую функцию координат, поскольку
где а - любой целочисленный вектор трансляции.
Введем новую систему координат, смещенную относительно старой на -а.
Векторы р (с проекциями ?, г], Q в новой системе координат получаются из
старых векторов г с помощью очевидной формулы
ф - функция электрона в новой системе координат может быть получена с
помощью уравнения Шредингера, записанного в этой системе координат:
ф(р) + УШ(Р) = Еф(р)• (12-Ю)
Легко видеть, что уравнения (12.8) и (12.10) не отличаются одно от
другого, поскольку
F(r + a) = V(r),
(12.8)
р = г + а.
(12.9)
§61. Волны Блоха
311
Уравнения (12.8) и (12.10), таким образом, идентичны. Это означает, что
их решения можно выбрать так, чтобы они отличались только числовым
множителем. Обозначим его Са (величина множителя, вообще говоря, зависит
от вектора трансляции а). Имеем, следовательно,
Самый общий вид функции, удовлетворяющей (12.11), имеет вид
где г/k(г) - периодическая (с периодом решетки) функция г.
