Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
результаты в физике твердого тела связаны не столько с анизотропией
кристаллов, сколько с их периодичностью, а также с тем обстоятельством,
что кристаллы представляют собой сильно вырожденные системы, для которых
нужны квантовые, а не классические методы рассмотрения (см. следующий
параграф).
В заключение рассмотрим природу теплового расширения. Покажем, как оно
связано с ангармоничностью колебаний. Мы не будем
§55. Колебания кристаллических решеток
289
рассматривать тепловое расширение кристалла, потому что эта задача
слишком сложна, а покажем, как возникает тепловое расширение на примере
двухатомной молекулы, связанной силами, имеющими ангармоническую
составляющую.
В отсутствие колебаний расстояние между центрами атомов определяется
размерами их электронных оболочек и равно
а ~ 10 см.
Обозначим удаление от положения равновесия буквой х. При наличии
квадратичной ангармонической составляющей сила, действующая между
атомами, может быть записана в виде
Рис. 119. Акустическая и оптическая ветви колебаний.
F = - мх + к\х
О величине коэффициентов к и к\ мы поговорим позднее. Уравнения Ньютона
для нашей молекулы имеют вид
+ кх - К\Х2 = 0.
dt2
Тепловым расширением называется изменение среднего значения расстояния
между атомами (удлинения) с температурой. Возьмем поэтому среднее от
написанного уравнения. Будем обозначать средние значения фигурными
скобками
Найдем среднее значение d2x/dt2. По определению среднего значения
т
d2x jj. 1 \dx (гг\ dx /гл! _ q
Г d2x Л _ 1_ [
\dt2)Tj dt2
о
xdt = b
dx ('Т'Л dx
Ldt[
где T - период колебаний. Это выражение равно нулю из-за периодического
характера движения. Наше уравнение принимает теперь вид
к{х} - >с\{х2} = 0,
290
Глава 11
откуда
М = ^{х2}.
Мы получили важнейший результат. Среднее значение увеличения расстояния
между атомами (удлинения молекулы) пропорционально коэффициенту
ангармоничности к\ и зависит от среднего размаха колебаний х2, а
последний, как мы знаем, определяется температурой. Осталось довести
вычисления до конца. При расчете будем считать, что колебания носят, в
основной, гармонический характер, а ангармоничность играет роль поправки.
Среднее значение потенциальной энергии при гармонических колебаниях равно
{С/гарм.} = = \кТ.
В правой части этого равенства стоит обычное больцмановское выражение для
энергии колебаний. Заменяя в формуле для {х} величину {х2} значением,
полученным из этой формуле, найдем
М = Щкт.
К1
Коэффициентом линейного расширения называется отнесенное к единице объема
(в нашем случае - длины) увеличение размера, отнесенное к изменению
температуры на 1 градус
7
а = --к. анА
Мы получили еще один важный результат: коэффициент температурного
расширения не зависит от температуры. Для твердых тел это не совсем так.
В области комнатных температур этот коэффициент, действительно, мало
зависит от температуры, а в области низких температур зависит очень
сильно, но в этой области наши вычисления, основанные на классической
физике, мало пригодны.
Численные оценки содержат много произвола, поскольку структура нашей
модели далека от реальной структуры кристалла. Посмотрим все-таки, чео
следует ожидать. Положим для оценки, что ангармонический член в формуле
для силы составляет 20% от гармонического. Это дает
к\а = (1/5)х,
так что
а = {1/Ь)(1/а2 х)к.
§56. Фононы
291
Труднее всего оценить величину к. Примем для оценки, что гармоническая
часть потенциальной энергии колебаний, при х = а равная (1/2)ха2, по
порядку величины равна энергии связи молекулы ~ 10 эВ. Постоянная
Больцмана к равна 8,6 • 10-5 эВ/К,
а = (1/5)(1/20 эВ)8,6 • 10-5 эВ/К - 10"6 1/К.
Коэффициенты линейного расширения кристаллов по порядку величины равны
обычно ~ 10-5 1/К. Если учесть грубость сделанных предположений,
совпадение следует признать не таким уж плохим.
§ 56. Фононы
Энергия звуковых волн, как и энергия всяких колебаний, квантуется в
соответствии с формулой
Е = Нси(п + 1/2). (11.29)
Нулевая энергия колебаний Eq = Ни/2 нас сейчас интересовать не будет.
Избыток энергии
Е - Eq = hwri (11.30)
следует представлять себе в виде совокупности п квантов, каждый из
которых несет энергию Нсо. По аналогии с квантами светового излучения
кванты акустических колебаний получили название фононов1. Звуковые волны
- с точностью до нормировки - являются волновыми функциями фононов2.
Энергия и импульс фононов связаны с частотой и волновым вектором звуковой
волны обычными соотношениями
Е = ftcj, р = Кк. (11.31)
Система звуковых волн, проходящих через кристалл, при квантовом подходе
эквивалентна фононному газу, заполняющему кристалл. Система независимых
гармонических волн соответствует идеальному газу не взаимодействующих
друг с другом фононов. Тепловые свойства кристалла рассчитываются путем
изучения термических свойств этого идеального газа. Такая картина,
конечно, неизмеримо проще исходной картины,
Термин "фонон" был предложен Я. И. Френкелем.
2Ситуация с фононами и звуковыми волнами полностью аналогична ситуации,
