Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 110

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 190 >> Следующая

совпадают.
Из сказанного ясно, что область физически различных значений волнового
числа имеет ширину 2тг/а. Все остальные значения могут быть приведены к
значениям, лежащим в указанной области. Эту область принято выбирать так,
чтобы точка к = 0 лежала в ее центре. Она носит название первой зоны
Бриллюэна.
Главный физический вывод, который должен быть сделан из сказанного,
заключается в том, что периодичность по волновому числу (и по волновому
вектору) является следствием пространственной периодичности
кристаллической решетки.
Обратимся к скорости звуковых волн. При небольших волновых числах (и
соответственно низких частотах) синус в (11.23) может быть заменен своим
аргументом, так что
Мы видим, что при низких частотах скорость звуковых волн не зависит от
частоты, т. е. не обладает дисперсией. Групповая скорость звуковой волны
при этом равна фазовой. Эта общая скорость называется скоростью звука 5:
Направление скорости определяется знаком волнового числа.
При увеличении частоты (и волнового числа) замена синуса его аргументом
становится неправомерной. Фазовая скорость волны
Это равенство определяет фазовую скорость волны v§\
(низкие частоты).
(низкие частоты).
(11.25)
__ и) __ />7 sin(/ca/2)
k а V т ка/2
(11.26)
§55. Колебания кристаллических решеток
287
несколько падает с частотой и на границе зоны Бриллюэна уменьшается до
значения
_ 2 а \ к_
Щтт - тг у 772'
которое в полтора раза меньше максимального. Таким образом, при
увеличении частоты звуковых волн становится заметна их дисперсия.
Групповая скорость волн определяется обычной формулой
^гр
duo dk '
(11.27)
Используя соотношение (11.23), получаем
^гр - а\1 га
ка
У границы зоны Бриллюэна эта скорость обращается в нуль (рис. 118).
Конкретная форма равенства (11.23) и следующих из нее формул для фазовой
и групповой скорости волн не имеет серьезного научного значения, так как
они определяются особенностями выбранной модели (линейная цепочка
шариков, связанных пружинками). В то же время выводы о периодичности
волнового числа, о наличии дисперсии у звуковых волн и т.д. имеют общую
применимость.
В заключение приведем формулы для реальных трехмерных кристаллов. Бегущие
звуковые волны в пространственном случае характеризуются волновым
вектором к. Формула бегущей волны аналогична (11.21):
г/к(г, t) = Акехр(гкг - iuot).
Выражение, аналогичное (11.22), имеет вид
Uk(l, m, n, t) = Akx,ky,kz exp(ikxla + ikyma + ikzna - iuot). (11.28)
Последняя формула описывает смещение узлов решетки в зависимости от
времени t и координат (Z, га, п) в кубическом кристалле при прохождении
волны, у которой волновой вектор к имеет проекции кх, ку, kz на базисные
векторы решетки.
Рис. 118. Изменение фазовой и групповой скорости звуковой волны с
волновым числом.
288
Глава 11
Пространственные звуковые волны периодичны по волновому вектору. Их
всегда можно привести в первую зону Бриллюэна, которая в этом случае,
конечно, является трехмерной.
При длинных волнах (ка " 1) в твердых телах могут распространяться
звуковые волны двух типов - продольные и поперечные. В поперечных волнах
смещение атомов перпендикулярно к волновому вектору, а в продольных -
совпадает с ним по направлению. Скорости поперечных волн s_\_ меньше, чем
скорости продольных 5ц. Так, в алюминии = 3130 м/с, а 5ц = 6400 м/с.
Скажем несколько слов о веществе, расположенном между узлами
кристаллической решетки (электронные оболочки атомов, свободные
электроны). При движении звуковой волны это вещество, конечно, испытывает
смещения. Его смещения, однако, не описываются волной (11.21) и требуют
специального рассмотрения. Электронные оболочки (или, по крайней мере,
внутренние оболочки атомов) обладают малой массой и сильно связаны со
своими ядрами. Они смещаются вместе с ними. Свободные электроны с ядрами
связаны очень слабо и движутся по совсем другим законам. Все изложенное
выше относилось к узлам кристаллической решетки и только к ним.
Важные новые черты в описанной картине появляются в тех случаях, когда в
элементарной ячейке кристалла находится несколько ядер. Среди возможных
типов колебаний решетки можно выделить колебания этих ядер друг
относительно друга. Такие движения образуют новые типы колебаний, носящие
название оптических ветвей (в отличие от звуковых, акустических ветвей, о
которых шла речь до сих пор). Законы дисперсии для оптических ветвей
резко отличны от рассмотренных; в частности, при к -> 0 их частота не
стремится к нулю. На рис. 119 приведен пример такого закона для ячейки,
содержащей два атома.
Сделаем еще одно замечание. Во всем предыдущем рассмотрении мы либо
ограничивались одномерным случаем, либо считали среду изотропной.
Кристаллические среды, вообще говоря, анизотропны, а базисные векторы
решеток не ортогональны и не равны друг другу. Мы не будем рассматривать
анизотропные кристаллы из-за сильного усложнения математического
аппарата. Мы не делаем этого также потому, что наиболее интересные
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed