Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В квантовой механике уровни энергии осциллятора квантуются, причем
расстояние между уровнями равно энергии перехода hco. Изменение частоты
колебаний со приводит к изменению расстояния между уровнями. Расщепленные
уровни энергии, соответствующие колебаниям и и v, являются коллективными
уровнями и характеризуют не атомы порознь, а систему из двух
взаимодействующих атомов.
1В теоретической механике гармонические составляющие и и v носят название
нормальных колебаний.
304
Глава 12
Подобное "расщепление" частот происходит и в кристаллах, состоящих не из
двух, а из большого числа взаимодействующих между собой одинаковых
атомов. Наиболее сильно выражено расщепление "верхних" уровней, связанных
с движением электронов, слабее всего связанных со "своими" атомами и
ближе всего подходящих к "чужим" атомам1. Рассмотрим для примера
кристалл, содержащий грамм-атом вещества. Каждый из уровней в этом случае
расщепляется на 6 • 1023 подуровней. При этом величина расщепления
зависит не от числа атомов в кристалле, а от силы их связи. Поэтому все
подуровни, на которые расщепляется один атомный уровень, находятся внутри
некоторой полосы АЕ, ширина которой при не очень сильной связи
оказывается существенно меньшей, чем расстояние между соседними
невозмущенными уровнями. Ясно, что распределение расщепленных уровней в
полосе АЕ оказывается непрерывным2. Уровни, образовавшиеся при
расщеплении каждого атомного уровня, образуют свою разрешенную зону.
Разрешенные зоны разделены между собой свободными от уровней
энергетическими промежутками, которые называют запрещенными зонами. Зону,
возникшую при расщеплении какого-либо уровня, принято обозначать также,
как и сам уровень.
На рис. 123 изображено образование энергетических зон из атомных уровней
Is и 25 в кристалле лития. На рисунке видно, что зона 25 существенно шире
зоны 15, так как радиальная протяженность волновых функций,
соответствующих уровню 25, гораздо больше (рис. 107), чем их
протяженность для 15-уровня, и взаимодействие 25-уровней проявляется
существенно сильнее. Рассмотренная картина расщепления характерна для
всех твердых тел. В зависимости от свойств конкретного тела меняется
число, ширина и распределение зон, но общий характер картины не
изменяется.
Низко расположенные атомные уровни переходят в твердом теле в очень узкие
зоны, а высоко расположенные уровни образуют зоны большой ширины. Если в
твердом теле имеется несколько сортов атомов (например, в случае NaCl),
то возникают зоны из уровней энергии всех компонент. Самыми широкими
оказываются зоны, соответствующие уровням валентных электронов. Именно
поэтому у твердых источников излучения не обнаруживаются линейчатые
оптические спектры, характерные для атомов, входящих в их состав. При
нагревании твердых тел до высоких температур появляется лишь непрерывный
спектр "черного
Расщепление нижних уровней крайне незначительно (волновые функции
внутренних электронов практически не перекрываются!) и не приводит к
каким-либо новым физическим явлениям
2Следует иметь в виду, что уровни имеют конечную ширину и что расстояние
между уровнями оказывается меньше их ширины.
§59. Связанные колебательные системы
305
Зона проводимости-
Запрещенная -зона Заполненная -
зона (валентная)
-ш
Рис. 123. Образование разрешенных зон из одиночных уровней (литий).
Горизонтальными линиями условно изображены квантовые состояния
разрешенных зон. Косая штриховка отмечает уровни, занятые электронами.
тела" (гл. 9). В то же время характеристические рентгеновские спектры,
возникающие при переходах между очень узкими внутренними зонами,
превосходно наблюдаются при использовании твердых тел в качестве анодов в
рентгеновских трубках. Связь атомов в кристалле на характеристических
рентгеновских спектрах практически не сказывается.
Следует подчеркнуть, что образование зон из атомных уровней происходит во
всех кристаллах, независимо от их типа. Различие между кристаллами
состоит не в наличии или отсутствии зон, а в расположении зон и в
характере их заполнения.
Вопрос о заполнении энергетических уровней обобществленными электронами
кристалла принадлежит к числу кардинальных. Как мы уже знаем, электроны
являются фермионами и подчиняются принципу Паули. Число электронов в зоне
не может превзойти числа имеющихся в ней квантовых состояний - "числа
мест". Поэтому важно понять, сколько "мест" имеется в той или иной зоне.
Начнем с двух сближающихся колебательных систем, которые только что
рассматривались. Мы выяснили, что одинаковые до сближения частоты после
"включения" взаимодействия начинают расходиться. Однако число степеней
свободы при этом не изменяется. До сближения имелись две тождественные
степени свободы. При сближении систем частоты колебаний перестают
совпадать, но число степеней свободы остается равно двум. Постоянство
числа степеней свободы нетрудно понять, заметив, что это число дискретно.
Непрерывно производимое сближение приводит к столь же непрерывному
