Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(рис. 116). Обозначим через хп рав рис ^ Линейная модель кристалла,
новесное положение n-то атома, а через ип - смещение атома от
его положения равновесия (хп и ип откладываются по одной и той же оси,
совпадающей с направлением цепочки).
Запишем второй закон Ньютона для n-го атома:
тип - Fn.
Сила Fn, двигающая атом п вправо, складывается из силы растяжения правой
и силы сжатия левой пружинок. Так как (п - 1)-й и (п + 1)-й атомы тоже
смещены, то одна из этих сил равна м(ип+\- ип), а другая - к(ип-1 - ип).
В результате имеем
тйп = к(ип+1 - 2ип + ип-1). (11.20)
Уравнения (11.20) должны быть написаны для всех атомов, образующих
цепочку, и составляют систему огромного числа связанных между собой
(зацепляющихся) линейных дифференциальных уравнений. Решить такую систему
прямыми методами невозможно.
Попробуем найти решение системы (11.20) в виде бегущей волны
Uk(x, t) = Ak ex.p[i(kx - cot)}, (11.21)
284
Глава 11
где к - волновое число, оо - частота волны, а Ak - некоторая константа.
Мы снабдили решение одним индексом к, а не двумя (fc, со), потому что к и
со не являются независимыми величинами. Вскоре мы получим связывающую их
формулу.
В нашем случае бегущая волна описывает смещения дискретно расположенных
узлов решетки1 и имеет смысл только при х = п-а, где а - базисный вектор
линейной цепочки, ап - любое целое число. Уравнение бегущей волны следует
поэтому записывать не в виде (11.21), а в виде
Uk(n, t) = Ak exp[i(kan - cot)]. (11.22)
Подстановка (11.22) в (11.20) дает
Akm(-co2) exp(ikan - icot) = xAk exjp(-icot) {exp [ika(n + 1)] -
- 2 exp (ikan) + exp [ika(n - i)]}-
Сократим левую и правую части этого равенства на Ak ex.p(ikan - icot):
-moo2 = ^[exp(ika) - 2 + exp(-ika)].
Заменив сумму экспонент через косинус и выразив затем косинус через синус
половинного угла, получим
со = 2 J - л/ т
sin
ка
(11.23)
При написании (11.23) мы приняли во внимание, что частота со по своему
физическому смыслу является положительной величиной.
Проанализируем полученный результат. Вместо того чтобы решать бесконечную
систему зацепляющихся дифференциальных уравнений (11.20), мы попытались
угадать ответ и нашли, что решением системы являются волны (11.22) при
любых к и Ak при условии, что волновое число и частота удовлетворяют
соотношению (11.23). Полное решение системы (11.20) может быть
представлено в виде интеграла от решений (11.22):
u(n,t) = J А(к) exp(inka - icot) dk. (11.24)
Движение атомов, случайно попавших в пространство между узлами (дефекты),
или движение дополнительных атомов, принадлежащих той же ячейке, не
описывается ни системой (11.20), ни волной (11.21). Об этих движениях мы
скажем несколько слов в конце этого параграфа.
§55. Колебания кристаллических решеток
285
Колебательное движение кристалла может быть представлено в виде системы
бегущих волн, амплитуды которых произвольным образом зависят от волнового
числа, а частота жестко связана с волновым числом. В трехмерном случае
следует рассматривать не волновое число, а волновой вектор к и
интегрирование должно производиться в трехмерном пространстве, по осям
которого отложены составляющие вектора к.
Переход от рассмотрения колебаний атомов, составляющих кристалл, к
системе звуковых волн приводит к фундаментальному упрощению задачи.
Движение каждого атома приводит в движение соседние атомы. Попытка
математически описать это движение, как мы видели, приводит к появлению
системы из огромного, в пределе - бесконечного числа зацепляющихся
уравнений. Движение звуковых волн неизмеримо проще. При небольших
амплитудах, когда движение является гармоническим, распространение каждой
волны не зависит от присутствия остальных. На математическом языке
переход к звуковым волнам является переходом от координат отдельных
атомов к нормальным координатам системы.
График зависимости со от к изображен на рис. 117. Частота оказывается
периодической функцией волнового числа: при замене к на к + 2тг/а она
возвращается к прежнему значению. Постараемся понять, является ли
совпадение частот у разных волн случайным результатом, зависящим от
выбранной модели решетки, или имеет более глубокую причину.
Исследуем движение двух звуковых волн, одна из которых характеризуется
волновым числом к\ = к, а другая - волновым числом &2 = к + 27г/а. При
записи с помощью (11.21) эти волны описываются выражениями
Uk± = Aeiq)(ikx - icot),
Uk2 = A exp (ikx + г ^х - iuot^j,
которые кажутся различными. Совпадение частот со при этом оказывается
непонятным. Запишем теперь формулы волн в форме (11.22):
икг = Aexjp(ikan - iut),
Uk2 = Aex.p(ikan + - icot) = u^-
Рис. 117. Зависимость частоты от волнового числа в одномерной модели
кристалла.
286
Глава 11
Мы видим теперь, что в узлах кристаллической решетки волны с волновыми
числами, отличающимися на 2тг/а, неразличимы. Но наши уравнения только
для узлов и пригодны. Волны к\ и &2, таким образом, попросту
тождественны. Все их характеристики, включая частоту, полностью
