Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 115

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 190 >> Следующая

являются фононы. При полуколичественных оценках для фононной (решеточной)
теплопроводности можно применять обычную формулу для теплопроводности
газов
я = csX/З, (11.55)
§58. Решеточная теплопроводность
301
где к - теплопроводность, с - теплоемкость, отнесенная к единице объема
газа, 5 - скорость фононов, а А - средняя длина их свободного пробега.
Теплоемкость решетки мы научились рассчитывать в предыдущем параграфе.
Скорость звука следует считать известной.
Обсудим причины, ограничивающие длину свободного пробега фононов.
При низких температурах, когда тепловые колебания невелики и
ангармоничность сил, связывающих атомы в решетке, еще можно не принимать
во внимание, длина свободного пробега А очень велика. При низких
температурах ее величину ограничивают примеси, дефекты кристалла и
размеры самих кристаллов. Длина свободного пробега фононов может
равняться при этом нескольким миллиметрам.
Рассеяние фононов на дефектах кристалла схематически изображено на рис.
121.
При рассеянии фонон меняет направление движения, не изменяя своей
энергии.
При повышении температуры на рас-пространении звуковых волн все больше
Рис т. Схема рассеяния фо-начинает сказываться ангармоничность ко- нонов
на дефекте решетки, лебаний. Соответствующие процессы изображены на рис.
122. При разделении, слиянии и столкновении фононов выполняется закон
сохранения энергии, а закон сохранения импульса верен с точностью до Ар =
2тгНп/а (см. (11.33) и следующий за ней текст).
а
Рис. 122. а - Распад одного фонона на два; б - слияние двух фононов в
один; в - столкновение двух фононов, приводящее к их рассеянию.
Формула (11.55) позволяет оценивать теплопроводность кристаллов, если
известна длина свободного пробега фононов, и может служить для
определения этой длины, если сведения о ней отсутствуют. При
температурах, близких к абсолютному нулю, теплопроводность кристаллов
возрастает с температурой вместе с его теплоемкостью, а затем быстро
падает из-за уменьшения длины свободного пробега фононов.
Глава 12
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ
§ 59. Связанные колебательные системы. Разрешенные и запрещенные зоны
В твердых телах атомы близко подходят друг к другу и не могут
рассматриваться как независимые. Задача о положении уровней
взаимодействующих атомов очень сложна и не может быть исследована
простыми методами. Основные эффекты, которые возникают при таком
взаимодействии, близки к эффектам, происходящим при взаимодействии
классических колебательных систем.
Рассмотрим две одинаковые классические колебательные системы X и У,
например, два маятника или два колебательных контура. В отсутствие
взаимодействия их движение описывается обычными уравнениями
х-\-со2х = 0, i) + co2y = 0. (12.1)
Переменные х иу в этих уравнениях определяют характерные для системы
изменяющиеся величины - отклонение маятников или напряжение
в электрических контурах и т. д. Частота колебаний со у обеих
колеба-
тельных систем одинакова.
"Включим" взаимодействие между системами (например, свяжем маятники
слабой пружинкой или сблизим колебательные контуры). Сила, действующая на
первую систему, начнет после этого зависеть не только от координаты х
этой системы, но и от координаты у другой системы. В силу одинаковости
систем влияние системы Y на систему X равно влиянию системы X на систему
Y. В присутствии взаимодействия уравнения движения примут поэтому вид1,2
х + со2х + ау = 0, у + со2у + ах = 0. (12.2)
Равенство коэффициентов при перекрестных членах доказывается в Приложении
III.
2При написании (12.2) предполагалось, что \а\ <С cj2.
§59. Связанные колебательные системы
303
Чтобы решить эту систему, следует перейти к координатам и и v:
и = х + у, x=(u + v)/2, v = x-y, y=(u-v)/2. (12.3)
Складывая и вычитая уравнения (12.2), с учетом (12.3) найдем
й + (си2 + а) и = 0, v + (cj2 - а)?; = 0. (12.4)
Вводя обозначения
cj2 = си2 -Ь а, си2=си2 - а, (12.5)
найдем
г/ = Ai sin(cjit + y?i), v = А2 sin(cj2^ + ^2)- (12.6)
Ai и A2 - амплитуды колебаний, cpi и ср2 - их начальные фазы.
Возвращаясь с помощью (12.3) к переменным х и у, найдем, что колебания
наших систем складываются из двух гармонических колебаний и и v,
несколько различающихся по частоте1.
Константы А\, А2, <pi и ср2 зависят от начальных условий. Рассмотрим,
например, случай, когда в момент t = 0 колебалась только
система X. Нетрудно убедиться, что в этом случае А\ = А2 = А и
cpi = ср2 =
= 7г/2. Тогда
ж = ^(coscjit + cos co2t), у = ^(coscjit - cos co2t).
С течением времени различие между о;it и постепенно увеличивается. При -
co2t = 7г колебания в системе X затухают, а в системе Y доходят до
максимума. Затем снова вся энергия колебаний сосредотачивается в системе
X и т. д.
Главный результат, который следует отметить, заключается в том, что две
одинаковые системы с равными собственными частотами после "включения"
взаимодействия характеризуются двумя коллективными колебаниями и и v со
слегка "расщепившимися" частотами и со2.
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed