Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
которая
имеется в случае фотонов и световых волн. Звуковая волна содержит в себе
сведения об
интенсивности звука (нормируется на полное число фононов), в то время как
волновая
функция нормируется на один фонон.
292
Глава 11
в которой огромное количество атомов совершает тепловые колебания, и
может быть несравненно лучше рассчитана. При больших амплитудах звуковые
колебания приобретают ангармонический характер. Звуковые волны перестают
быть независимыми друг от друга. На квантовом языке при этом говорят о
столкновении фононов - при увеличении плотности фононный газ перестает
быть идеальным.
Рассмотрим основные особенности фононов. Как мы уже знаем, частота
звуковой волны является периодической функцией ее волнового вектора. Это
означает, что энергия фонона является периодической функцией его
импульса. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто говорят, что фонон
обладает не импульсом, а квазиимпульсом. Надлежащим образом выбранная
область физически различных значений импульса носит название первой зоны
Бриллюэна. В одномерном случае ее положения определяются условием
\р\ ^ 7гН/а. (11.32)
Как мы уже выяснили в предыдущем параграфе, периодические свойства
волнового числа (и волнового вектора) объясняются тем, что
соответствующие волны в узлах кристаллической решетки неразличимы. Это
означает, что к импульсу фонона можно добавить величину
Ар = 27г Нп/а, (11.33)
где п - любое целое число.
Из сказанного ясно, что в процессах, в которых участвует кристаллическая
решетка, закон сохранения импульса верен с точностью до слагаемого А
п * /
Ар = 27г ап/а.
Более точно следует писать
Ар = 27гЯЬ, (11.34)
где b - вектор обратной решетки. В простейшем случае прямоугольной
решетки его значение определяется путем очевидного обобщения множителя
п/а. В более сложных случаях базисные векторы обратной решетки
определяются формулами
[а2, а3] [а3, ai] [ai, а2]
bl = ----------г, Ь2 = ------------г, Ьз =
(ai, а2, аз)' (ai, а2, аз)' (ai, а2, аз)
(в числителе этих формул стоят векторные, а в знаменателе - смешанное
произведение). Вектор обратной решетки равен
b = kh\ + 1Ъ2 + шЬз,
где к, /, т - любые целые числа.
§56. Фононы
293
Процессы, происходящие с добавлением Ар, называются процессами переброса.
Величину Ар следует выбирать так, чтобы все фононы лежали в области
первой зоны Бриллюэна. (При небольших импульсах это происходит само
собой.)
Обратим внимание на еще одно важное обстоятельство. При изучении фононов
мы сталкиваемся с динамикой частиц, не обладающих определенной массой. У
обычных медленно движущихся частиц энергия связана с импульсом
квадратичным законом
Массой частицы называется деленный на два коэффициент связи между
квадратом импульса и ее энергией.
У релятивистских частиц энергия и импульс не связаны параболическим
законом. Ясный физический смысл имеет в этом случае только масса покоя
частицы.
У частиц, движущихся с постоянной скоростью (фотоны, акустические фононы
и, по-видимому, нейтрино), энергия пропорциональна импульсу и масса покоя
равна нулю1. У фононов закон связи между энергией и импульсом может иметь
самый разный вид. Формула (11.23), которую можно переписать через энергию
и импульс:
является одним из примеров таких законов. Мы увидим далее, что связь
между энергией и импульсом у электронов, проходящих через кристалл, также
имеет необычную, непараболическую форму. Понятие массы становится в этом
случае бесполезным. Динамика частиц, движущихся в кристалле, должна
непосредственно извлекаться из закона дисперсии этих частиц, т. е. из
уравнения, связывающего их энергию и импульс. Мы отложим исследование
этого вопроса до следующей главы.
Остается выяснить, чему равен спин фонона. Как мы знаем, спин частицы
определяет число ее возможных внутренних состояний, т. е. состояний, не
зависящих от импульса. Мы установили в свое время, что спин фотона равен
единице, а из трех, вообще говоря, возможных при таком спине состояний
осуществляются только два - они соответствуют двум возможным поляризациям
электромагнитной волны.
уравнения Эйнштейна
следует, что линейная связь между энергией и импульсом возникает только
при то = 0.
р2 = 2 тЕ.
(11.35)
(11.36)
294
Глава 11
В твердых телах звуковая волна может иметь три поляризации: звуковые
волны могут быть продольными и поперечными, причем имеются две
независимые поперечные поляризации. Таким образом, спин фонона равен
единице. Фонон принадлежит к числу бозонов и описывается статистикой Бозе
- Эйнштейна (гл. 8).
§ 57. Теплоемкость кристаллических решеток
Тепловые колебания кристаллических решеток сводятся к звуковым волнам и,
следовательно, к движению фононов. Задача о теплоемкости решетки сводится
поэтому к расчету суммарной энергии фононов, подобно тому как энергия и
теплоемкость теплового излучения рассчитываются через энергию фотонов.
Как мы уже знаем, спин фононов равен единице, а их число не сохраняется.
Они подчиняются, следовательно, статистике Бозе - Эйнштейна с переменным
