Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Убедимся в том, что функция (12.12) действительно удовлетворяет уравнению
(12.11). При замене г на г + а функция г/k не меняется, а функция егкг
приобретает множитель Ск = егка, который является числом, зависящим от а.
Если повторить трансляцию т раз, то уравнение (12.12) приобретает
множитель (егка)т, как и должно быть. Наше утверждение, таким образом,
доказано.
Функции (12.12) носят название функций Блоха. Экспоненциальный множитель
функции Блоха соответствует обычной плоской волне.
Эта волна модулирована периодической функцией г/k(г), которая зависит от
структуры кристаллической решетки, от волнового вектора к и, вообще
говоря, от некоторых других параметров (например, от поляризации волны).
Появление периодической функции г/k(г) в (12.12) является вполне
естественным, так как электроны кристалла распространяются не в
однородной среде, а в среде с периодически изменяющейся потенциальной
энергией. К одним областям они притягиваются, а от других отталкиваются.
Поэтому плотность электронной волны в кристалле периодически
меняется (пропорционально |г/к(г)| ). Она велика в "ямах" и мала "на
холмах" потенциальной энергии.
Как мы уже знаем, в кристаллах все физические величины являются
периодическими функциями волнового вектора (и импульса). Значения к
принято приводить к первой зоне Бриллюэна. В этой зоне следует выбирать
как значение волнового числа, так и импульса - точнее говоря,
квазиимпульса - электрона.
Как показывает более подробное рассмотрение (см., например, ниже текст,
набранный петитом), решения уравнения (12.7), удовлетворяющие всем
необходимым требованиям (однозначности, непрерывности, гладкости и
конечности), могут быть найдены не при всех значениях Е. Те значения Е,
при которых уравнение Шредингера имеет такие решения,
ф(г + а) = Саф (г).
(12.11)
ф(г) = wk(r)e*kr,
(12.12)
312
Глава 12
образуют области, называемые разрешенными зонами, а области, в которых
решений нет, называются запрещенными зонами энергии. К этому результату
мы уже приходили с другой точки зрения.
Исследуем функции Блоха более подробно. Рассмотрим уравнение Шредингера
(12.7). Для простоты ограничимся одномерным случаем. Как обычно, умножим
уравнение на 2т/h2 и введем обозначение
^[E-V(x)\ =к2(х). (12.13)
Уравнение Шредингера примет вид
+ к2(х)ф = 0. (12.14)
dx
Входящая в это уравнение функция к2(х) может, вообще говоря, сложным
образом зависеть от х. Важно, однако, что в силу периодичности кристалла
к2(х + а) = к2(х) (12.15)
для всех х. Здесь а - период кристаллической решетки.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими
коэффициентами носят название уравнений Матье и, вообще говоря,
аналитически не решаются. Некоторые важные их свойства, однако, легко
могут быть установлены.
Покажем прежде всего, что среди решений (12.14) всегда имеются два
независимых решения ФДж) и Ф2(ж), которые при смещении на х = а не меняют
своего вида, а просто умножаются на некоторое число. Так как при замене х
на х + а уравнение (12.14) не изменяется, для доказательства достаточно
показать, что существуют два решения, у которых начальные условия, т. е.
значения самой функции и ее первой производной, одновременно умножаются
на некоторое число.
При доказательстве будем вначале исходить из двух произвольных
независимых решений этого уравнения фг(х) и (ж), которые, вообще говоря,
указанным свойством не обладают. Искомые решения, как и всякие решения
нашего уравнения, могут быть представлены в виде линейной комбинации этих
двух решений. Опуская индекс при искомом решении, запишем поэтому
Ф(ж) = Ь\ф\(х) + Ъ2ф2{х). (12.16)
Для упрощения расчетов выберем в качестве ф\(х) и ф2(х) решения,
обладающие тем свойством, что в начальной точке хо
фг(хо) = 1, ф[(х о) = 0, ф2(х0) = 0, ф2(хо) = 1.
(12.17)
§61. Волны Блоха 313
Здесь и ниже штрихами обозначены производные по х. Подставляя эти
значения в (12.16), найдем начальные значения Ф(ж):
Ф(яо) = Ь1, Ф'(х0) = Ъ2. (12.18)
При переходе через период функция Ф и ее производная равны
Ф(ж0 + а) = Ъ\ф\(хо + а) + Ъ2ф 2(жо + а),
Ф (жо + а) - Ъ\'ф\(х{) + а) + Ъ2ф2(хо + а). (12.19)
Функция Ф будет обладать необходимым свойством, если
Ф(ж0 + а) = АФ(яо), Ф'(х0 + а) = АФ'(х0), (12.20)
где А - некоторое число (в общем случае комплексное).
Подставляя (12.18) и (12.19) в (12.20), найдем
Ъ\ф\(х о + а) + Ь2ф2(хо + а) = Abi,
Ь1ф[(хо + а) + Ь2ф2(хо + а) = \Ъ2. (12.21)
Система (12.21) однородна относительно неизвестных коэффициентов Ъ\ и и
имеет решение в том и только в том случае, если ее детерминант равен
нулю:
ф\(хо + а) - А, ^2(ж0 + а) Фг(хо + а), ф2(хо + а) - А
= 0. (12.22)
Уравнение (12.22) является квадратным уравнением относительно А и
определяет два решения Ai и А2. Для каждого из них система (12.21) может
быть разрешена и определяет (с точностью до постоянного множителя) два
набора решений Ь[, Ь2 и Ь'{, Ь2. Подставляя эти значения в (12.16),
получим функции ФДж) и Ф2(ж), определенные с точностью до постоянного
