Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
М”) (—п — е) = 0, F^(n+e)= 1.
Согласно второй теореме Хелли
lim / eisxdF^(x)= f elsx dF(nUx).
к —7T —7T
Таким образом *),
/(— )= feisxdF^(x) при всех целочисленных s (s = 0, ±1, ±2,. . .).
•) Заметим, что попутно нами доказана следующая теорема Герглотца. Если последовательность чисел с„(п = 0, ±1,. . .) обладает тем свойством, что при любом выборе комплексных чисел ?,, ?2, . . . , ?дги произвольном N
N N
fc=l/ = 1 К 1 1
то последовательность сп может быть записана в форме
сп= I е'пх do (х),
—7Г
где о(х) - неубывающая функция с ограниченной вариацией.
232
Гл. 7. Характеристические функции
Рассмотрим теперь последовательность характеристических функций /„(f), определенных посредством равенства
пп
fn (t) = f eltx dFn (*),
—7ТП
где
F„(x)=F<")^ гко проверить, что ]
Легко проверить, что при всех целочисленных к
fn
(3)
Но каково бы ни было f, мы можем подобрать такую последовательность к = к(п, f)•),что
к 1
О < f------< —•
п п
Из непрерывности функций /(f) следует, что /(f) = lim /(
)= lim /„(-)¦
\ п ) п-+<*> \ П /
(4)
Если мы докажем, что при всех вещественных f /(f) = lim /„ (f),
(5)
то доказательство теоремы будет завершено, так как /(f) — непрерывная функция и поэтому, в силу обратной предельной теоремы для характеристических функций, будет характеристической функцией.
С этой целью заметим, что из (3) и (4) следует равенство
lim fn (f)= lim
fn (t) - fn
¦si-«-a
/ (0 + lim f„ (f) - /,
'¦(i)
(6)
*) Всюду дальше под к мы понимаем числа к (п, г).
§ 36. Положительно определенные функции 233
к
Обозначим в = t------. Согласно выбору величин к имеем 0< в < 1/л.
п
По определению функции fn(t)
к
(к \ I 7ГП г — х
--JH / е " (ete*-l)dFn(x)\<
—ЯП
тт п
< f \е‘вх-\\dFn(x). (7)
— ТТЛ
Воспользовавшись неравенством Буняковского, находим, что
Г
f | ei9x - 1 | dFn (х)< у/ f i eWx -112dFn (x)
= V f 2(1 - cos вx)dF„(x) = y/2(l-RfnV)), (8)
—ТТ П
где символ Rfn(Q) означает вещественную часть fn(ff). Так как
cosz < cosaz при 0 < a < 1 и —тг <z < тг, то
ТТП Я
1 — Rfn(6) = f (1 — cos0x)dFn(x)= f (1 — cos0 ¦ nz) dFn(zn) <
—¦ПП —7Г
< f (1-cosz)dF„(zn).
— 7T
А так как
Fn (zn) = F(n) (z),
TO
1 - Rfn (в) < f (1 - cosz) dFW (z) = 1 - R / eiz dF<") (z).
— П —7T
Отсюда в силу (3) находим, что
!-«/(—)• (9)
Собрав вместе неравенства (7), (8) и (9), находим, что
fn (0 - fn
л(т)М3(‘-*/(;))¦
234
Гл. 7. Характеристические функции
Из непрерывности функции f (?) отсюда следует, что
lim I = 0.
Соотношение (5), как это видно теперь из (6) , доказано.
§ 37. Характеристические функции много мерных -случайных величин
В настоящем параграфе мы излагаем без доказательств основные сведения о характеристических функциях многомерных случайных величин.
Характеристической функцией «-мерной случайной величины (?i, ? 2 ’ •••, ?и) называется математическое ожидание величины
Если F (х j, х2......х„) есть функция распределения величины
(? j, ? 2...?п) < т0> как мы знаем из предыдущего*),
Подобно тому как и в одномерном случае, характеристическая функция «-мерной случайной величины равномерно непрерывна во всем пространстве (—°° < tj < +°°, 1 < / < п) и удовлетворяет следующим соотношениям:
По характеристической функции /(?], 12, ...,?„) случайной величины (? 1, % 2 - • • • ?п) легко найти характеристическую функцию любой Л-мерной (к < п) величины (?/i, , 1/*), компонентами которой являются
величины (1 < s < п). Для этого в формуле (2) нужно положить равными нулю все аргументы ts при s Ф jr(l < г < к). Так, например, характеристическая функция величины равна
е
, где ?!, t2, . .., t„ — вещественные переменные
П
fih,h-----,Г„) = Мехр(/ Xtk%k).
(О
к = I
п
f(ti,t2,---t„)= f. .. /(exp г 2 tk xk)dF(Xi,-------x„).
(2)
/(0,0,... ,0)= 1,
I f(ti, t2_____ t„) ! < 1 (-°°< tk < +°°, к = 1,2, . . .),
/(-?i,-t2l... ,-tn)= f(tlt t2....t„).
/i(M = fit„ 0,...,0).
*)Cp. теорему 1 § 24 и замечание о многомерных интегралах Стилтьеса в § 23.
