Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 90

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 176 >> Следующая


Пример 2. В процессе массового производства, Существующего во многих отраслях промышленности, изготовляются большие партии одинаковых предметов. Обратим внимание на какую-нибудь числовую характеристику интересующего нас продукта. Поскольку это изделие находится в соответствии с техническими нормами, существует некоторая нормальная величина избранной нами характеристики. В действительности же всегда наблюдается некоторое отклонение от этой нормальной величины. При правильно поставленном процессе производства такие отклонения могут вызываться лишь случайными причинами, каждая из которых произ-
250

Гл. 8. Классическая предельная теорема

водит лишь незаметный эффект. Суммарное же их действие производит заметное уклонение от нормы.

Подобных примеров можно привести сколько угодно.

Таким образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь малое влияние на сумму. Этому последнему требованию мы придадим позднее более точный смысл. Вместо того чтобы изучать суммы очень большого, но конечного числа слагаемых, мы будем рассматривать последовательность сумм со все большими большим числом слагаемых и считать, что решения интересующих нас задач даются предельными функциями распределения для последовательности функций распределения сумм. Такого рода переход от конечной постановки задачи к предельной является обычным как для современной математики, так и для многих отделов естествознания.

Итак, мы пришли к рассмотрению следующей задачи: дана последовательность взаимно независимых случайных величин

¦?i, ?2 .

о которых мы предположим, что они имеют конечные математические ожидания и дисперсии. В дальнейшем мы станем придерживаться следующих обозначений:

<*к=Щк, bl=D^, В\ = 2 b’=D 2 %к.

к = I к = I

Спрашивается, какие условия нужно наложить на величины %к, чтобы функции распределения сумм

-j- 2 iXk-ak) (2)

В„ к = 1

сходились к нормальному закону распределения? В следующем параграфе мы увидим, что для этого достаточно выполнения условия Линдеберга: при любом г > 0

Urn — 2 f (х - ak)2dFk(x) = 0,

п -*¦ °° Вп к = I \х — ак\> тВп

где Fk(x) обозначает функцию распределения величины %к.

Выясним смысл этого условия.

Обозначим через Ак событие, состоящее в том, что

I %к ~ ак I >тВп (* = 1,2
§ 40. Теорема Линдеберга

251

и оценим вероятность

Р{ шах | %к - ак | > тВп) .

1<к<п

Так как

Р{ max I %к - ак | >тВп) = Р{Аг + А2 + . .. + Ап}

1 <к<п

И

П

P(y4i+y42+... + ^4nJ^ ^ Р {Ак} ,

к = 1

то, заметив, что

1

Р{Ак)= f dFk(x)<—— f (x-ak)2dFk(x)

\х-ак\> тВп V^n) \х-ак\> тВп

находим неравенство

1 ”

Р { шах | %к - ак \ > тВп) < - 2 / (* - а к) dFk(x) .

1 < fc < и т В п к = 1 \х— ак\> тВп

В силу условия Линдеберга, каково бы ни было постоянное г > 0, последняя сумма при п -*¦ °° стремится к нулю. Таким образом, условие Линдеберга представляет собой своеобразное требование равномерной малости

1

слагаемых — (?fc - ак) в сумме (2).

Вп

Отметим еще раз, что смысл условий, достаточных для сходимости функции распределения сумм (2) к нормальному закону, был вполне выяснен уже исследованиями А.А. Маркова и А.М. Ляпунова.

§ 40. Теорема Линдеберга

Мы начнем с доказательства достаточности условия Линдеберга. Теорема. Если последовательность взаимно независимых случайных величин ,. .., . . . при любом постоянном т> 0 удовлетворяет

условию Линдеберга

lim 4- I I (х ~ ak)2dFk(x) = 0, (1)

Вп к = 1 \x-ajc\> тВп
252

Гл. 8. Классическая предельная теорема

то при п -+ °° равномерно относительно х

[ 1 " 11*2 р — ^ f e"Z 12 dz'

[Bn к = 1 К J \/2я_ со

Доказательство. Для краткости введем обозначения

%пк =—, ^nfcO) = PU„fc < *>• вп

Очевидно, что

и, следовательно,

S D?„fc = l. (2')

к = 1

Легко убедиться, что условие Линдеберга в этих обозначениях принимает следующий вид:

lim ? / x2dFnk(x) = 0. (l')

п-+оо к = 1 I JC I > т

Характеристическая функция суммы

— 2 (%к-вк)= 2 Вп к = 1 fc = 1

равна

?>„(0= П /„*(/)•

Л = 1

Нам нужно доказать, что lim ^„0) = ?-"f2/2.

л-*00

С этой целью мы установим прежде всего, что множители fnk(t) при

п -*¦ 00 равномерно относительно fc(l < к < п) стремятся к 1. Действительно,
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed