Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
fit) = feitxdFix) =
ОО ОО
= / e~itx dF i-x + 0) + / eitx dFix) - F(+0) - F(-0) = о 0
oo
= f(e~itx + ei,x) dFix) -F(+0)-F(-0) =
о
oo
= 2 / cos tx dFix) — F(+0) — F(—0) = / cos tx dFix).
о
§ 34. Теоремы Хелли
219
(Напомним здесь, что мы условились включать нижний предел в интервал интегрирования и не включать верхний).
Для доказательства обратного предложения рассмотрим случайную величину т) = — ? . Функция распределения величины г] равна
G(x) = Р{7?<х}=Р{?> —*}= 1 — F(—x + 0).
Характеристические функции величин ? и 7j связаны соотношением КО = М eitv = М e~in = Ме^ = J(t).
Так как по условию ДО вещественна, то Д0=Д0 и, значит,
g(t) = ДО •
Из теоремы единственности мы теперь заключаем, что функции распределения величин ? и 7? совпадают, т.е. что
F(x) = 1 - F(-x + 0), что и требовалось доказать.
§ 34. Теоремы Хелли
В дальнейшем нам потребуются две теоремы чисто аналитического характера — первая и вторая теоремы Хелли.
Условимся говорить, что последовательность неубывающих функций
Fi(x\ рг(х), . . ., Fn(x), ...
сходится в основном к неубывающей функции F (дс), если при п -»• °° она сходится к этой последней в каждой ее точке непрерывности.
Впоследствии мы всегда будем считать, что функции F„ (jc) удовлетворяют условию
^«(-°°) =0,
и не станем далее оговаривать этого.
Отметим сразу же, что для сходимости в основном достаточно, чтобы последовательность функций сходилась к функции F (х) на каком-нибудь всюду плотном множестве D. Действительно, пусть х — любая точка идг'и х" — какие-нибудь две точки множества D, такие, что х' < х < х" . При этом также
F„(x’)<Fn(x)<F„(x”).
Следовательно,
lim Fn(x ) < lim Fn(x) < lim Fn(x) < lim Fn(x"\
п-+*> п~*-ж
220
Гл. 7. Характеристические функции
А так как по предположению
lim Fn(x') = F(x) и lim Fn(x") =F(x"),
n~*°°
TO и
F(x') < lim F„(x) < lim Fn(x) < F(x").
П-+ oo rt—
Но средние члены в этих неравенствах не зависят от х и х", поэтому F(x - 0) < lim F„(x) < lim F„(x) < F(x + 0).
n^°° n^°°
Если функция F (л:) в точке х непрерывна, то F(x - 0) = F(x) = F(x + 0).
Следовательно, в точках непрерывности функции F (х) lim F„(x) = F(x).
П-+ оо
Первая теорема Хелли. Всякая последовательность ограниченных в совокупности неубывающих функций
F,(x\ F2(x\ . . . , Fn(x),... (1)
содержит по крайней мере одну подпоследовательность
Fnt{x), F„2(x), . . . ,F„k(x),...,
сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции F (х).
Доказательство. Пусть D — какое-нибудь счетное всюду плотное множество точек х\ ,х2.........х'п, ... Возьмем значения функций по-
следовательности (1) в точке х [
Fl(x{), F2{x[), F„(xi), ...
Так как множество этих значений, по предположению, ограничено, то оно содержит по меньшей мере одну последовательность
Fi F12(Xl'), ..., Fln(xl), ... , (2)
сходящуюся к некоторому предельному значению, которое мы обозначим через G (х[ ). Рассмотрим теперь множество чисел
F,,(*2'), F12(x2’),. . . . , Fln(x2'), ...
Так как и это множество ограничено, то существует в нем последовательность, сходящаяся к некоторому предельному значению G(x2). Таким образом, из последовательности (2) мы можем выделить подпосле-
§ 34. Теоремы Хелли
221
довательность
^2i С*), F22(x), . . . , F2n(x),
(3)
для которой одновременно lim F2n(?<i) = G!(jc1')Hlim F2n(x2) = G(x2).
для которых одновременно имели бы место равенства lim Fkn(x'r) =
П-^ оо
= G(x'r) при всех г Составим теперь диагональную последовательность
Вся она в конечном счете выделена из последовательности (1), поэтому для нее lim F пп(хх) = G (х(). Далее, так как вся диагональная последова-
тельность, за исключением лишь первого члена, выделена из последовательности (2), то lim Fnn (х2 ) = G (х2). Вообще вся диагональная последова-
тельнось, за исключением первых ее к — 1 членов, выделена из последовательности (4) ; поэтому для нее также lim Fпп (хк) = G (х'к) при каж-
дом к. Полученный результат можно сформулировать так: последовательность (1) содержит по крайней мере одну подпоследовательность, которая во всех точках хк множества D сходится к некоторой функции G (х), определенной на множестве D. При этом, так как функции Fпп (jc) не убывают и равномерно ограничены, то, очевидно, и функция G (х) будет неубывающей и ограниченной.
Теперь ясно, что функцию G (jc) , определенную на множестве D, можно продолжить так, что она будет определена на всей прямой < jc < °°, оставаясь неубывающей и ограниченной.
Последовательность (5) сходится к этой функции на всюду плотном множестве D; следовательно, она сходится к ней в основном, что и требовалось доказать. Заметим, что функция, полученная продолжением функции
