Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
238 Гл. 7. Характеристические функции
Обозначим через Д, минор D, соответствующий элементу /),/, тогда
М $,= ah oj = D$,= ^ (/=1,2..............и),
М (!/- д/) (?/- д/) Ои
rt, = ------------'----- = -7Г7-— 0, ] =1,2..........и).
а'а/ y/D„D„
Определитель D и главные миноры его положительны.
Обычными подсчетами легко проверить, что характеристическая функция величины (| j, ?2.....?л) равна
п 1 п п
'¦а1 Ч ?, , а!акг1к Ч‘к
f(tut2, .... t„)= е 2 к~1 ’~1
Таким образом, п-мерное нормальное распределение вполне определяется заданием математического ожидания и дисперсии.
Из выражения для характеристической функции «-мерной нормально распределенной случайной величины мы видим, что распределение величины
при любых 1 < г, < г2 < . . . <ik < п будет ^-мерным нормальным распределением.
§ 38. Преобразование Лапласа — Стилтьеса
Для случайных величин, которые принимают только неотрицательные значения, во многих случаях предпочтительнее, чем характеристическими функциями, пользоваться преобразованиями Лапласа — Стилтьеса. Пусть случайная величина ? — неотрицательная и F (х) — ее функция распределения. Преобразованием Лапласа — Стилтьеса для F (х) называется интеграл
/(*)= / e~sxdF(x). (1)
-о
Преобразование Лапласа — Стилтьеса обладает рядом полезных свойств, в значительной мере повторяющих свойства характеристических функций.
1. Преобразование Лапласа — Стилтьеса является аналитической функцией в правой полуплоскости; для него нечетные производные отрицательны, а четные — положительны;
2./(0) =1,
3. Функция распределения однозначно определяется по своему преобразованию Лапласа — Стилтьеса;
§38. Преобразование Лапласа-Стилтъеса
239
4. Чтобы последовательность функций распределения сходилась в каждой точке непрерывности, необходимо и достаточно чтобы последовательность их преобразований Лапласа — Стилтьеса сходилась равномерно в каждом конечном отрезке аргумента;
5. Преобразование Лапласа — Стилтьеса суммы независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапласа - Стилтьеса слагаемых;
оо
6./(п)(0) = (-1)" / xndF(x).
-о
Приведем преобразования Лапласа — Стилтьеса для некоторых распределений.
1. Единичное распределение: F(x) = 0 при *<ии F(x) = 1 при х> а\ f(t)-e~as.
2. Показательное распределение: F (х) = 1 — е~Хх при х > 0;
Л
Л + S
Р*Ха~1
3. Гамма-распределение: F (х) = ------------ е , а и /3 — положитель-
на)
ные постоянные;
Г
/(*)=-----------
J (P + sf
\ke-x
А. Распределение Пуассона: рк = -------, к = 0,1,2,. . .
к !
/(,) = e-Mi
5. Геометрическое распределение: pk = Р {? = к) = qpk, ? = 0,1,...
f ^ = —7 ’ q = 1 - Р-
1 -ре s
Проиллюстрируем использование теории преобразований Лапласа — Стилтьеса на примере одной технической задачи.
Мы начнем изложение с одной прикладной задачи. Она позволит нам понять важность развития теории суммирования случайного числа слагаемых для прикладных областей знания, а, следовательно, и для теоретической науки.
240
Гл. 7. Характеристические функции
В современном инженерном деле одним из важнейших свойств технических систем принято считать их высокую надежность, т.е. способность длительное время выполнять без ущерба для дела положенные рабочие функции. Для увеличения надежности технических устройств используется широкий спектр мер, в том числе так называемое резервирование с восстановлением.
Предположим, что Ах представляет собой или техническую систему в целом или какой-нибудь ее элемент. Для увеличения ее надежности мы подключаем точно такое же устройство А2, которое принимает на себя рабочие функции в момент, когда Ах исчерпывает свой рабочий ресурс (отказ элемента ^i). В момент отказа Ах немедленно 1)^4х отправляется на ремонт (восстановление рабочих функций) и 2) подключается в работу элемент А2, который и берет на себя всю рабочую нагрузку. Спрашивается, какой эффект дает резервирование (введение дополнительного элемента А2) и восстановление отказавших элементов, если после ремонта восстановленный элемент немедленно передается в резерв? Для решения этой задачи нам придется сделать некоторые предположения. А именно мы предположим, что
1) длительность безотказной работы представляет собой случайную величину с функцией распределения F (х);
2) оба элемента А х и А2 обладают одинаковыми техническими данными и после ремонта полностью восстанавливают свои рабочие свойства:
