Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 83

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 176 >> Следующая


В силу обратной предельной теоремы отсюда вытекает, что при любом х

когда п^°°.

Из непрерывности предельной функции легко вывести, что эта сходимость будет равномерна по х.

§ 36. Положительно определенные функции

Цель настоящего параграфа — дать исчерпывающее описание класса характеристических функций. Приводимая нами ниже основная теорема была одновременно найдена А.Я. Хинчиным и С. Бохнером и опубликована впервые С. Бохнером.

Для формулировки и доказательства этой теоремы нам нужно ввести новое понятие. Мы скажем, что непрерывная функция/(f) вещественного аргумента t положительно определена в интервале —< t < °°, если каковы бы ни были вещественные числа tlH . . . ,tn, комплексные числа ¦ ¦ ¦ Лп и Целое число п

Перечислим несколько простейших свойств положительно определенных функций.

1. /(0) > 0, В самом деле, положим п = 1, tx = 0, ? j = 1; тогда из условия положительной определенности функции /(t) находим, что

/ е' z^2 dz,

- оо

П П



п п

2 2 f{tk-ti)%k%, =/(0)>0. к = 1 /= 1

2. При любых вещественных t
§ 36. Положительно определенные функции

229

Для доказательства положим в (1) п = 2, t\ = 0, [2 = f, |i, |2 произвольны. Имеем по предположению

О < I 1 /(Г* - Г,-) Tj = /(0 - 0) + /(0 - 0 +

fc = 1 /' = 1

+ /(f-o)$2'fi +f(t-t)t2h =

= /(0)(|?, 12+1Ы2)+A-OSJ2 + АО Sib, (2)

поэтому величина

Я-0 1.12 + /(Of 1*2

должна быть вещественной. Таким образом, если положить /(—f) =aI + z‘0i, /(f) = а2 + >02, ?i?2 = 7 + ?i?2= 7 " *5, то должно быть

ai^ + /^7 - а2§ +)327“0.

Так как | х и ?2 < а следовательно, 7 и 5 произвольны, то должно быть ®i ~ ®2 = 0, + )32 = 0.

Отсюда следует наше утверждение.

3. При любых вещественных f

\ АО \ < /(0).

Положим в неравенстве (2) = f(t), |2 = — | /(f) |; тогда согласно пре-

дыдущему

2/(0) 1/(012 - I /(0 I21 /(01-1 /(О!2! /(01 > 0.

Отсюда при | / (f) | Ф 0 получаем:

/(0)>1 /(01-Если же | / (f) | = 0, то опять-таки в силу свойства 1 /(0) > 1 /(01.

Из доказанного следует, между прочим, что если положительно определенная функция такова, что /(0) = 0, то /(f) = 0.

Теорема Бохнера -Хинчина. Для того чтобы непрерывная функция /(f), удовлетворяющая условию /(0) =1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определенной.

Доказательство. В одном направлении теорема тривиальна. Действительно, если

/(0= feixrdF(x),
230

Гл. 7. Характеристические функции

где F(jc) — некоторая функция распределения, то при любом целом п, произвольных вещественных fj, t2, .... tn и комплексных числах ...........имеем:

2 2 / (г* - гу) ^ = 2 2 {jV*(г* "f/) (х)} М, =

fc = i / = i fc = ij=i

= /22 eix(tk~t/} Skl}dF(x) = к - 1 j= 1

= /( 2 e"fcJC$k )( 2 ?7) dF(x) =

fc=i y=t

= л 2e"*I{l|2^W>0. fc = i

Доказательство достаточности условий теоремы требует более сложных рассуждений.

fk\

Рассмотрим последовательность чисел / (— I, зависящую от целочисленного параметра и. В силу положительной определенности функции f (х) мы имеем при любом N:

3^n)(jc)= - 'V V /(—-) e-'(k-/)jc > 0.

N к=о /=0 \ п /

Легко подсчитать, что в этой сумме имеется N — | г | слагаемых, для которых разность к - j равна г. Далее очевидно, что число г может изменяться от —N + 1 до N— 1. Таким образом, имеет место равенство

^И)оо

N

r= -N \ iV / \П /

isx

Умножим обе части полученного равенства на е и проинтегрируем по jc в пределах от —it до тт:

я N I 1 г I \ / г \ п

f e‘sx ы (x)dx= 2 1----------/ - / e~,rx elsx dx,

—эт r-—N\ N J \п/ —п

Известно, что

! 0

—п { 2тт для г = s.
§ 36. Положительно определенные функции

231

Поэтому

(l - — V (-“) = — I (*) eisx dx = / eUx dF%\x),

\ N ) \ n) 2n —n

где

4B)(*)=4- f PPMdx

2n —n

есть неубывающая функция с полным изменением, равным

4П)(0= ~ f &tt)(x)dx= f(0) = 1,

2 я —я

т.е. является функцией распределения.

На основании первой теоремы Хелли мы можем найти последовательность Nk -> °° при к -*¦ °°, для которой функции F^ (х) (п фиксировано!) сходятся к предельной; обозначим ее через F ^ (jc) . Функция F ^ (jc) снова является функцией распределения, так как при любых N и произвольном е> 0 F(-я — е) = 0, F^ (л + е) = 1 и, значит, при произвольном е > 0 также
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed