Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 85

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 176 >> Следующая

§ 37. Многомерные характеристические функции 235

Из определения вытекает, что если компоненты величины (? х, ? 2;' • ¦ -Лп) являются независимыми случайными величинами, то ее характеристическая функция равна произведению характеристических функций компонент

•,?„)= fiti) ¦ f{t2).....f(tn).

Так же как и в одномерном случае, многомерные характеристические функции позволяют легко находить моменты различных порядков.

Так,например,

м^1 Я.../^1 Х21 ... xk„ndF(x1,x2,...,xn) =

afcl + fc2 + - + fcn m,t2,...,tn) -

bfrafr... btkn Jfl = fl = ...

Для вычисления характеристических функций полезно знать следующую теорему, доказательство которой без труда проведет читатель.

Теорема 1. Если характеристическая функция величины (? ь ?2

равна f(ti,t2......t „), то характеристическая функция величины (ах ? х + аи

а2%2 + а2......оп?п + ап), где atu а,- (1 < /^и) -вещественные постоян-

ные, равна

П

ехр (/ 2 rfc) • f(axtx, a2t2, . . . , an tn).

n = 1

Пример 1. Вычислим характеристическую функцию двумерной случайной величины, распределенной по нормальному закону:

р(х,у)=-------------—ехр!-------------— [х2 -2rxv+y2]\. (3)

2тг(1 -г2) I 2(1 — г ) I

По формуле (2)

f(ti,h)= ffel(t'x+tiy)p(x,y)dxdy.

2тт (1 - г2)

Заменой переменных мы можем привести /(?,, /2) к виду
236

Гл. 7. Характеристические функции

Пример 2. Применяя теорему 1, мы найдем характеристическую функцию величины (т}1, т?2), распределенной по нормальному закону:

1

Р (х, у) :

X ехр

2тг (7 J сг2 ( 1 1

2(1 — г2)

“>х

(X - а)2 о2

2 г

{х — а){ у - Ь) (у-Ъ)2

(4)

Если мы положим = Ojg, + а, т?2 = о2?2 + Ъ, то величина (?,, ?2) будет распределена по закону (3). Согласно теореме 1 характеристическая функция величины (ть.т?:) равна

V’fri. h)~ exp iati + ш?2-----(о]?] + 2о,о2/-?1?2 + о\ t\)

2

Из определения характеристической функции вытекает следующая

Теорема 2. Если / (Г,, t2.........tn) есть характеристическая функция

величины (§i, ?2, ...,?„), то характеристическая функция суммы + §2 + • • • +?п равна

f{t)= f{t,t,...,t).

П римечание. Заметим, что

/(?)= /(«ь tt2........ttn)

есть характеристическая функция суммы + t2%2 + . . . +

Пример 3. Применим теорему 2 к определению функции распределения суммы t?j + г}2, если (t?j , т?2) распределена по закону (4).

Согласно теореме 2 характеристическая функция суммы т?) + т?2 равна ,2

fit) = ехр

it (а +b)-

(а2 + 2/-0, о2 + сг|)

Мы знаем (пример 1 § 32), что это — характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием, равным а + Ь, и дисперсией, равной о2 + 2toj о2 + а\. Этот результат был нами получен ранее непосредственно (§21, пример 2).

Важно заметить, что в многомерном случае сохраняется следующая теорема.

Теорема 3. Функция распределения F (xlt х2, . . . , х„) однозначно определяется своей характеристической функцией.

Доказательство этого предложения основывается на формуле обращения

Теорема 4. Если f it j, t2, . . . , t „) - характеристическая функция, a F(xt,x2, . . . , xn) - функция распределения случайной величины
§ 37. Многомерные характеристические функции

237

(ii.i2..........in),™

р {ак.< ik<bk, *= 1,2,... ,п) =

] Т Т eifkak _ eifkbk

= lim ----------— f f . . . ---------------------

r-« (2я) -г -г

X /(гь . .. , t„)dtidt2 ¦ • ¦

где ак и bk - любые вещественные числа, удовлетворяющие единственному требованию: вероятность попадания на поверхность параллелепипеда

ак < < bk (к = 1, 2,. .. , п) равна нулю.

Точно так же, как и в одномерном случае, имеют место прямая и обратная предельные теоремы для характеристических функций. Мы не будем на этом останавливаться.

Пример 3. Говорят, что и-мерная случайная величина (? i, i 2 * • • ¦ , in) имеет невырожденное (собственное) п-мерное нормальное распределение, если ее плотность распределения имеет вид

1

- ~Q(xl ,хг,. . . ,хп)

р(х t,x2,----х„) = Се

где

<2(х1,х2------ хп) = 2 bij (Xi - Of) (Xj - Oj)

ij

— положительно определенная квадратичная форма, С% щ и Ьц- действительные постоянные.

Несложные подсчеты показывают*), что

С = (VSF)-" y/D,

где

Ь12 • • Ьщ
D = Ь 2 1 ь22 . . bin
Ьп\ Ь„ 2 . . Ьпп
*) Обычйый прием при подобного рода подсчетах заключается в том, что заменой переменных приводят форму Q к сумме квадратов и все вычисления производят в новых переменных.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed