Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 37. Многомерные характеристические функции 235
Из определения вытекает, что если компоненты величины (? х, ? 2;' • ¦ -Лп) являются независимыми случайными величинами, то ее характеристическая функция равна произведению характеристических функций компонент
•,?„)= fiti) ¦ f{t2).....f(tn).
Так же как и в одномерном случае, многомерные характеристические функции позволяют легко находить моменты различных порядков.
Так,например,
м^1 Я.../^1 Х21 ... xk„ndF(x1,x2,...,xn) =
afcl + fc2 + - + fcn m,t2,...,tn) -
bfrafr... btkn Jfl = fl = ...
Для вычисления характеристических функций полезно знать следующую теорему, доказательство которой без труда проведет читатель.
Теорема 1. Если характеристическая функция величины (? ь ?2
равна f(ti,t2......t „), то характеристическая функция величины (ах ? х + аи
а2%2 + а2......оп?п + ап), где atu а,- (1 < /^и) -вещественные постоян-
ные, равна
П
ехр (/ 2 rfc) • f(axtx, a2t2, . . . , an tn).
n = 1
Пример 1. Вычислим характеристическую функцию двумерной случайной величины, распределенной по нормальному закону:
р(х,у)=-------------—ехр!-------------— [х2 -2rxv+y2]\. (3)
2тг(1 -г2) I 2(1 — г ) I
По формуле (2)
f(ti,h)= ffel(t'x+tiy)p(x,y)dxdy.
2тт (1 - г2)
Заменой переменных мы можем привести /(?,, /2) к виду
236
Гл. 7. Характеристические функции
Пример 2. Применяя теорему 1, мы найдем характеристическую функцию величины (т}1, т?2), распределенной по нормальному закону:
1
Р (х, у) :
X ехр
2тг (7 J сг2 ( 1 1
2(1 — г2)
“>х
(X - а)2 о2
2 г
{х — а){ у - Ь) (у-Ъ)2
(4)
Если мы положим = Ojg, + а, т?2 = о2?2 + Ъ, то величина (?,, ?2) будет распределена по закону (3). Согласно теореме 1 характеристическая функция величины (ть.т?:) равна
V’fri. h)~ exp iati + ш?2-----(о]?] + 2о,о2/-?1?2 + о\ t\)
2
Из определения характеристической функции вытекает следующая
Теорема 2. Если / (Г,, t2.........tn) есть характеристическая функция
величины (§i, ?2, ...,?„), то характеристическая функция суммы + §2 + • • • +?п равна
f{t)= f{t,t,...,t).
П римечание. Заметим, что
/(?)= /(«ь tt2........ttn)
есть характеристическая функция суммы + t2%2 + . . . +
Пример 3. Применим теорему 2 к определению функции распределения суммы t?j + г}2, если (t?j , т?2) распределена по закону (4).
Согласно теореме 2 характеристическая функция суммы т?) + т?2 равна ,2
fit) = ехр
it (а +b)-
(а2 + 2/-0, о2 + сг|)
Мы знаем (пример 1 § 32), что это — характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием, равным а + Ь, и дисперсией, равной о2 + 2toj о2 + а\. Этот результат был нами получен ранее непосредственно (§21, пример 2).
Важно заметить, что в многомерном случае сохраняется следующая теорема.
Теорема 3. Функция распределения F (xlt х2, . . . , х„) однозначно определяется своей характеристической функцией.
Доказательство этого предложения основывается на формуле обращения
Теорема 4. Если f it j, t2, . . . , t „) - характеристическая функция, a F(xt,x2, . . . , xn) - функция распределения случайной величины
§ 37. Многомерные характеристические функции
237
(ii.i2..........in),™
р {ак.< ik<bk, *= 1,2,... ,п) =
] Т Т eifkak _ eifkbk
= lim ----------— f f . . . ---------------------
r-« (2я) -г -г
X /(гь . .. , t„)dtidt2 ¦ • ¦
где ак и bk - любые вещественные числа, удовлетворяющие единственному требованию: вероятность попадания на поверхность параллелепипеда
ак < < bk (к = 1, 2,. .. , п) равна нулю.
Точно так же, как и в одномерном случае, имеют место прямая и обратная предельные теоремы для характеристических функций. Мы не будем на этом останавливаться.
Пример 3. Говорят, что и-мерная случайная величина (? i, i 2 * • • ¦ , in) имеет невырожденное (собственное) п-мерное нормальное распределение, если ее плотность распределения имеет вид
1
- ~Q(xl ,хг,. . . ,хп)
р(х t,x2,----х„) = Се
где
<2(х1,х2------ хп) = 2 bij (Xi - Of) (Xj - Oj)
ij
— положительно определенная квадратичная форма, С% щ и Ьц- действительные постоянные.
Несложные подсчеты показывают*), что
С = (VSF)-" y/D,
где
Ь12 • • Ьщ
D = Ь 2 1 ь22 . . bin
Ьп\ Ь„ 2 . . Ьпп
*) Обычйый прием при подобного рода подсчетах заключается в том, что заменой переменных приводят форму Q к сумме квадратов и все вычисления производят в новых переменных.