Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
ш = fe'txdF„(x), ПО = feitxdF(x)
и функция е1,х непрерывна и ограничена на всей прямой - оо < t < оо, то согласно обобщенной второй теореме Хелли при п -» 00
Ш - /(О-
§ 35. Предельные теоремы
225
Утверждение, что эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале f, проверяется буквально теми же рассуждениями, какие мы провели при доказательстве второй теоремы Хелли.
Обратная предельная теорема. Если последовательность характеристических функций
(1)
сходится к непрерывной функции f(t), то последовательность функций распределения
F^x), F2(x),...,Fn(x),... (2)
сходится в основном к некоторой функции распределения F (х) (в силу прямой предельной теоремы /(f) = / eltxdF(x)).
Доказательство. На основании первой теоремы Хелли заключаем, что последовательность (2) непременно содержит подпоследовательность
Fni(x),Fni(x),. . .,F„k(x),(3)
сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции F(x). При этом понятно, что функцию F(х) мы можем считать непрерывной слева:
Urn F(x') = F(x).
х' -*• x - О
Вообще говоря, функция F (х) может и не быть функцией распределения, так как для этого должны удовлетворяться еще условия F (— °о) = 0 и F(+°o) =1. Действительно, для последовательности функций
О при х < -п,
Fn(x) = 1/2 при -и < х < п,
. 1 при X > п,
предельная функция F (х) = 1/2 и, следовательно, F (— 00) hF(+°°) также равны 1/2. Однако в условиях нашей теоремы, как будет сейчас показано, обязательно будет F(— °°) = 0 и F(+ °°) = 1.
В самом деле, если бы это было не так, то, приняв во внимание, что для предельной функции F(x) должно быть F(— оо) > 0 и F(+°°) <1, мы имели бы:
5 = F(+ °°) - F(— °°) < 1.
Возьмем теперь какое-нибудь положительное число е, меньшее 1 — 5. Так как по условию теоремы последовательность характеристических функций (1) сходится к функции/(f), то/(0) = 1. А так как, сверх того, функция /(f) непрерывна, то можно выбрать достаточно малое положи-
s. Б.В. Гнеденко
226
Гл. 7. Характеристические функции
тельное число т такое, что будет иметь место неравенство
1 I
— / f(t)dt > 1 - е/2 > S + е/2. (4)
2т -г
Но в то же время можно выбрать X > 4/те и настолько большое К, чтобы при к> К было
§* = F„k(X)-Fnk(-X) < 8 + е/4.
Так как f„k (t) есть характеристическая функция, то
/ fnk{t)dt = / [ / eitxdt]dF (х).
— т _т
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, можно оценить следую-
щим способом. С одной стороны, так как | е1
1, то
/ eltxdt
С другой стороны,
Г V 2
/ е dt = — sin тх,
и так как | sin -глсг | < 1, то при | х | > X
f eitxdt
<
Отсюда, применив первую оценку при | л: | < X и вторую при | х i > X, получаем:
Т
f fnk(t)dt
f ( f eltxdt)dFnAx)
I* I < x
f ( f eitxdt)dF„k(x)
\x I > X -r
< 2т8к + —
и, следовательно,
1
2 т
f f„k(t)dt
< 8 +
Это неравенство сохраняется и в пределе
1
2т
f f(t)dt
что, очевидно, противоречит неравенству (4).
§ 35. Предельные теоремы
227
Таким образом, функция F(x), к которой сходится в основном последовательность F„k(x), есть функция распределения; согласно прямой предельной теореме ее характеристическая функция равна /(/). Чтобы закончить доказательство теоремы, нам остается доказать, что и вся последовательность (2) сходится в основном к функции F(x). Предположим, что это не так. Тогда найдется подпоследовательность функций
сходящаяся в основном к некоторой функции F*(x), отличной от F (х) по крайней мере в одной из точек непрерывности. По уже доказанному F*(x) должна быть функцией распределения с характеристической функцией / (t). По теореме единственности должно быть
Это противоречит сделанному предположению.
Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев:
1) Последовательность характеристических функций /„(/) сходится к некоторой функции /(/) равномерно в каждом конечном интервале /.
2) Последовательность характеристических функций /„(/) сходится к характеристической функции /(г).
Пример. В качестве примера использования предельных теорем рассмотрим доказательство интегральной теоремы Муавра—Лапласа.
В примере 4 § 32 мы нашли характеристическую функцию случайной
Fn[(x), Fn’(x), . . . ,Fn’k(x),
(5)
F*(x) = F(x).
li ~np
величины 77 =
y/npq
fn (0 ~ ( qe nq+ .pe np f.
Воспользовавшись разложением в ряд Маклорена, находим, что
где
Так как при и Rn -»¦ О,
228
Гл. 7. Характеристические функции
то
