Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
G, может оказаться не непрерывной слева. Но мы можем изменить ее значения в точках разрыва так, чтобы восстановить этой свойство. Подпоследовательность Fnn будет сходиться в основном и к таким образом ’’поправленной” функции.
Вторая теорема Хелли. Пусть f (х) — непрерывная функция и пусть последовательность неубывающих, ограниченных в совокупности функций
сходится в основном к функции F{x). на некотором конечном интервале
(4)
(5)
оо.
Fi(x), F2(x), . . . , Fn(x),...
222
Гл. 7. Характеристические функции
a <jc где aub - точки непрерывности функции F(x); тогда
lim / f(x) dFn(x) = / f(x) dF(x).
n-*-00 a a
Доказательство. Из непрерывности функции / (jc) вытекает, что как бы мало ни было положительное постоянное е, найдется подразделение интервала а < * < b точками х0 = a, xt, , xN = b на
частичные интервалы хк < jc < дс& + 1 такое, что в каждом интервале (jc*, *fc+i) будет выполняться неравенство I/(jc) — /(jc*)I < е. Пользуясь зтим обстоятельством, мы можем ввести вспомогательную функцию fe (jc) , принимающую только конечное число значений, определив ее посредством равенств
/еОО = f(xk) при Хк <Х<Хк+1.
Очевидно, что для всех * в интервале а < jc < b выполняется неравенство
!/(*)-Л(•*)!< е-
При этом мы можем заранее выбрать точки деления jc,, jc2, . . . , xN_1 так, чтобы они были точками непрерывности функции F(x). В силу сходимости функций F, (x), F2(x), F3(х), ... к функции F(x), при достаточно больших п во всех точках деления будут выполняться неравенства
№*)-^л(**)1 < 7~7 > (6)
где М — максимум модуля f (х) в интервале а < jc < b. Без объяснений ясно, что
/ / (x)dF(x) - / f(x)dFn(x)
< j I f(x)dF(x) - / fe (x)dF(x) a a
b b f fe (x)dF(x) - f fc(x)dF„(x) a a
/ fc (x)dFn (x) -
- ff(x)dF„(x) . a
Нетрудно подсчитать, что первое слагаемое правой части не превосходит e[F(b) — F(а)], а третье не превосходит e[Fn(b) — Fn(a)]. Что же ка-
§ 34. Теоремы Хелли
сается второго слагаемого, то оно равно
223
"V f(xk)[F(xk+l)-F(xk)]
к = О
к - О
I f(xk)[F(xk+l)-F„(xk + 1)] к = 1
2 f(xk)[F(xk)-Fn(xk)\
к = О
и, следовательно, при достаточно больших п не превосходит 2е, как это вытекает из неравенства (6). В силу ограниченности функций Fn(x) в совокупности, сумма
e[F(6) - F(e)] + е[Fn(b) - Fn(a)] + 2е
может быть сделана сколь угодно малой вместе с е.
Обобщенная вторая теорема Хелли. Если функция / (х) непрерывна и ограничена на всей прямой — 00 < х < °°, последовательность ограниченных в совокупности неубывающих функций
Fx(x),F2(x\...,Fn{x),...
сходится в основном к функций F (х) и
lim F„(— °°) = F(— °°), lim F„( + °°) = F(+ °°),
то
lim ff(x)dFn(x) = // (x)dF(x).
П 00
Доказательство. Пусть Л < 0 и В > 0; положим
•Л
Л =
/а =
/ f{x)dF(x) - f f(x)dFn(x)
В в
f f (x)dF(x) - / f(x)dFn(x) A A
f /(x)dF(x) - f f(x)dF„(x) в в
Очевидно, что
I Sf(x)dF(x) - ff(x)dFn(x) | < +/г +J3.
Величины Ji и J3 можно сделать сколь угодно малыми, если выбрать А и В достаточно большими по абсолютной величине и притом такими, чтобы точки А и В были точками непрерывности функции F(x), а п выбрать достаточно большим. В самом деле, пусть М — верхняя грань
224
Гл. 7. Характеристические функции
| /* (jc) | при — 00 < х < 00; тогда <M[F(A)+Fn(A)],
/3 < M[F(+ оо) - F(5)] +M[Fn(+ оо) - Fn(B)].
Но
lim F(A) = 0, lim F(B) = F(+o°).
Л ->• —ОО В ->• “
А так как, по предположению,
lim F„(^4) = F(4), lim Fn(B) = F(B),
П ~> 00 И “> 00
то наше утверждение об /j и /3 доказано. Величина /2 при достаточно большом п может быть сделана сколь угодно малой в силу теоремы Хелли для конечного интервала.
Теорема доказана.
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций
Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.
Прямая предельная теорема. Если последовательность функций распределения
Fi(x),F2(x),. . . ,F„(x),. . .
сходится в основном к функции распределения F (х), то последовательность характеристических функций
flit), ш,ш,...
сходится к характеристической функции f (t). Эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале t.
Доказательство. Так как
