Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 + /(20 > 2[/(0] 2.
12. Доказать, что если F (х) - функция распределения, a f(t) - ее характеристическая функция, то при любом значении д; верно равенство
1 Т .
lim------ / f(t)e nxdt=F(x + 0)-F(x-0).
2 Т _т
13. Доказать, что есть F (х) - функция распределения, а /(/) - ее характеристическая функция и хк - абсциссы скачков F(x), то
1 Т
Um —- / 1/(012 dt = 2 [Ft** + 0) - F(xk - 0)].
Т-юо t * ~т к
Упражнения
247
14.Доказать, что если случайная величина имеет плотность распределения, то ее характеристическая функция при t -*¦ <*> стремится к 0.
15. Случайная величина i; распределена по закону Пуассона; М t, = X. Доказать,
5 -X
ному с параметрами а =0, а2 =1.
Замечание. Результаты упр. 15 и 16 позволяют при вычислении вероятностей Р <6} для больших значений X соответственно а) использовать
таблицы нормального распределения. В частности, оказывается, что для распределения х2 Уже ПРИ и > 30 указанное предельное распределение дает прекрасную точность. Это последнее замечание постоянно используется в статистике.
17. Доказать, что если iр(С) - характеристическая функция и функция i//(f) такова, что для некоторой последовательности {hn} (h п -* <*> при п ->¦ ~) произведения fn (f) =tp(t) ^ (h nt) также являются характеристическими функциями, то функция ip (Г) — характеристическая.
что при X ->¦ 00 распределение величины --------- стремится
стремится к нормальному с пара-
при х > 0.
РК-а
Доказать, что при <*->¦«¦ распределение величины
у/сГ
сходится к нормаль-
[ . I Л В А 8
КЛАССИЧЕСКАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 39. Постановка задачи
Интегральная предельная теорема Муавра—Лапласа, доказанная нами в главе 2, послужила источником большого цикла исследований, имеющих фундаментальное значение как для самой теории вероятностей, так и для ее многочисленных приложений в естествознании, технических и экономических науках. Для того, чтобы составить себе представление о направлении этих исследований, мы придадим теореме Муавра—Лапласа несколько иную форму. А именно, если, как это мы неоднократно делали, через цк обозначить число появлений события А в А:-м испытании, то число появле-
П
ний события А в п последовательных испытаниях равно 2 цк. Далее,
к = I
п п
в примере 3 § 25 мы подсчитали, что М 2 = пр и D 2 цк = npq.
к = 1 к = I
Поэтому теорема Муавра—Лапласа может быть записана в таком виде: при п-*°°
2 О*. - Мцк)
к = 1
а < ¦ ----------------< Ь
У
2 к = 1
V2ТГ а
Ь » „
/е 2 I dz (1)
и словами сформулирована так: вероятность того, что сумма уклонений независимых случайных величин, принимающих два значения 0 и 1 с вероятностями, соответственно равными q и р = 1 — q (0 <р < 1) , от их математических ожиданий, деленная на квадратный корень из суммы дисперсий слагаемых, будет заключаться в пределах от а до Ь, при увеличении числа слагаемых до бесконечности, равномерно относительно а и b стремится 1 ?
к интегралу]е 1 dz.
\/2?г а
Естественно возникает вопрос: насколько тесно связано соотношение(1) со специальным выбором слагаемых не будет ли оно иметь место и при
§ 39. Постановка задачи
249
более слабых ограничениях, наложенных на функции распределения слагаемых? Постановка этой задачи, а также ее решение являются в основном делом П.Л. Чебышева и его учеников А.А. Маркова и А.М. Ляпунова. Их исследования показали, что на слагаемые следует наложить лишь самые общие ограничения, смысл которых состоит в том, что отдельные слагаемые должны оказывать незначительное влияние на сумму. В следующем параграфе мы дадим точную формулировку этого условия. Причины, в силу которых эти результаты приобрели огромное значение в приложениях, лежат в самом существе массовых явлений, изучение закономерностей которых, как мы говорили ранее, и составляет предмет теории вероятностей.
Одной из важнейших схем, по которой идет использование результатов теории вероятностей в естествознании и технике, состоит в следующем. Считают, что процесс протекает под влиянием большого числа независимо действующих случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение явления или процесса. Исследователь, интересующийся изучением процесса в целом, а не действием отдельных факторов, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Приведем два типичных примера.
Пример 1. Пусть производится некоторое измерение. На результат неизбежно действует большое количество факторов, порождающих ошибки в измерении. Сюда относятся ошибки, вызванные состоянием измерительного прибора, которое может нечувствительно изменяться под влиянием различных атмосферных или механических причин. Сюда относятся личные ошибки наблюдателя, вызванные особенностями его зрения или слуха и также могущие незначительно изменяться в зависимости от психического или физического состояния наблюдателя, и т.д. Каждый из этих факторов породил бы ничтожную ошибку. Но на измерении сказываются сразу все эти ошибки, наблюдается ’’суммарная ошибка”. Иначе говоря, фактически наблюдаемая ошибка измерения будет случайной величиной, являющейся суммой огромного числа ничтожных по величине и независимых между собой случайных величин. И хотя эти последние неизвестны, так же как неизвестны их функции распределения, их влияние на результаты измерений заметно и поэтому должно быть подвергнуто изучению.
