Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 itx - -----------г-
?>(0 = -----------ГГ=Г I е 20 dx.
(х-а)2
tx - — ¦
а у/ 2тт Подстановкой х - а
z
- it а
а
<p(t) приводится к виду
V 2тт — it о
§ 32. Определение и простейшие свойства 213
Известно, что при любом вещественном а
“> — ia
f t2 dz = V 2n,
— «о — iot следовательно,
?>(0 =e
= Jat-a2 f2 /2
Пользуясь теоремой 4, мы можем без труда вычислить центральные моменты для нормального распределения и тем самым другим путем получить результат примера, рассмотренного в § 26.
Пример 2. Найти характеристическую функцию случайной величины ?, распределенной по закону Пуассона.
Согласно предположению величина % принимает только целочисленные значения, причем
Р<? = *}=-—- (* = 0,1,2,...),
к\
где X > 0 — постоянная.
Характеристическая функция величины % равна
ДО = Ме'^= Z е,кгР {? = *}= ? eitk— е~х = к=0 к=0 к\
. “ (\е‘*)к it ..it , ,
= е-\ 2 i= е~к+ке = е (е \
fc=o к!
Согласно (5) отсюда находим, что
М? = —ф'(0) = X; D? =-1//'(0) = А.
i
Эти равенства былинами ранее (§ 23, пример 3) получены непосредственно.
ПримерЗ. Случайная величина ? равномерно распределена в интервале (-а, а). Характеристическая функция равна
а dx sin at
т = / — = — .
-а 2а at
Пример 4. Найти характеристическую функцию величины ц, равной числу появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.
Величина ц может быть представлена как сумма
М = Ml + М2 + • ¦ • + Мл
214
Гл. 7. Характеристические функции
п независимых величин, каждая из которых принимает лишь два значения О и 1, соответственно с вероятностями <7 = 1 — р и р. Величина \ik принимает значение 1, если событие А происходит в к-м испытании, и значение 0, если событие А в к-м испытании не происходит.
Характеристическая функция величины цк равна
Д(0 ~ Ме‘{цк = elt'0q + elt' lp =q+pe,t.
Согласно теореме 3 характеристическая функция величины д равна
П
fit) = П fk{t) = (q + реиТ. к= 1
Д - пр
Найдем еще характеристическую функцию величины ц =------------. По тео-
\[npq
реме 2 она равна
-ttj^ i t \ 1Ч=
W=e я , (я+ре>Л^)п =
\V npq /
= (qe nq + pe np f .
Пример 5. Характеристические функции удовлетворяют равенству
Д-0 = 7(0-
Действительно,
/(-О = fe~itxdF(:с) = JeitxdF(x) = ДО.
§ 33. Формула обращения и теорема единственности
Мы видели, что по функции распределения величины ? всегда можно найти ее характеристическую функцию; для нас важно, что имеет место также обратное предложение: по характеристической функции функция распределения определяется однозначно.
Теорема 1. Пусть f(t) и F(x) - характеристическая функция и функция распределения случайной величины ?. Если хг и х2 - точки непрерывности функции F(x), то
§ 33. Формула обращения
2)5
Доказательство. Из определения характеристической функции следует, что интеграл
Jс =
равен
Jc =
1
/
2эт с
с g-itx, _ e-itx,
it
ДО dt
2п -с it
I I— >' ] dF(z) dt.
В последнем интеграле можно изменить порядок интегрирования, так как по z интеграл абсолютно сходится, а по г пределы интегрирования конечны. Таким образом,
Jc =
1
2эт
I
Г с eit(z-x,) _ ?it(z-x2)
f ------------:-------------- dt I dF(z) =
— с It
2n
с eit(z-X,) _ e-it(z-xt) _ eit(z-x7) + e-it{z-x1)
I ------------------------------------------------------ dt
о
it
dF{z) =
1 J J sin t(z - X!) sin t(z -x2)
Я 0
dt dF(z).
Из анализа известно, что при с
1/2, если а>0,
1 f sin at
— J -------------------dt-
тт о t
-1/2, если а < О,
(2)
и эта сходимость равномерна относительно а в каждой области а > 5 > О (соответственно а <-5), и при | а| <5, при всех с
1 с sin at
- f ------------ dt
ЭТО t
<1.
(3)
Положим для определенности, что х2 > хг, и представим интеграл Jc в виде следующей суммы:
