Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно сформулированным нами свойствам преобразований Лап-ласса — Стилтьеса нам следует показать, что преобразование Лапласа —
in J
Стилтьеса для величины ------- стремится к ----------. С этой целью преоб-
Т„ 1 + s
разуем выражение
следующим образом: Уп
(~к)'г(~к) Г7Ш
1 + —iXjLsl
s
Т
1 п
Но очевидно, что
'-'Ш '{к)~т
S S
Уп т~п
Ясно, что
- /’(0) - а (и -> °°).
244
Гл. 7. Характеристические функции
Теперь
гй 1 - —
— — =--------- S (1-е т" XI -Gn(x))dF(x).
ап а„ о
Оценим интеграл, стоящий в правой части последнего соотношения.
С этой целью разобьем его на два слагаемых:
\/~Т
( /"+ I XI -е~"){1 -G„(x))dF(x).
0 sfrn
В первом слагаемом воспользуемся неравенством 1 — е~х < х, а во
втором — неравенством 1 — е~х < 1. В результате получим, что
s/y ifL
/"(1 -етп )(l-Gn(xy)dF(x)<
О
< I (1 - G„(x)) dF (х) = о (ап),
Тп о
SX
/ (1-е )( 1 -G„(x)) dF(x)< f (1 -G„(x)) dF(x) = o(an).
sfrn sfrn
Собрав все оценки вместе, окончательно получаем
*(т.)- ТТГ*1 + °(1®'
что и требовалось доказать.
Упражнения
1. Доказать, что функции
fi(0=,^nakcosktf2(t)= 2 аке‘Хк* , к - О к = О
где ак > 0, ^ 2 = 1, являются характеристическими. Определить соответ-
ствующие распределения вероятностей.
,-М
Упражнения
24S
2. Найти характеристические функции для следующих плотностей вероятностей:
а) р(х) = — е
-a be I
б) р(х) ¦¦
в) р(х) ¦¦
it (а2 +х2) О
а - 1x1
при
при
\х I >а,
\х\< а;
2 sin2
г) р (X) =
Замечание. Внимательный читатель заметит, что примеры а) и б), а также в) и г) являются, так сказать, обратными.
3. Доказать, что функции
1 1 _ 1
*ЛО = -г-~ , ^(0 = -—’ г—
еп t sn t eh t
являются характеристическими соответственно для плотностей распределения
1 7Т х
Р, (X) =
2 ch
тех
, Р2 (х) :
4ch2
пх
2 sh
ттх
4. Найти распределения вероятностей случайных величин, характеристические функции которых равны
a) cosf, б) cos2f, в)-
a sin at
------ _ г)---------
а + it at
5. Доказать, что функция, определяемая равенствами
Л0=/(-0, f(t + 2a)=f(t),
а - t
f(t) =----- при 0<t<a,
является характеристической.
Замечание. Характеристические функции примеров 2г и 5 обладают следующим замечательным свойством:
/2(f)=/5(f) ПРИ If Ка,
/2 (Г) Ф /5 (t) при \t\> а и t Ф ± 2а, . . .
246
Гл. 7. Характеристические функции
Таким образом, существуют характеристические функции, значения которых совпадают в сколь угодно большом сегменте (-а, а) и не равные тождественно. Первый пример таких двух характеристических функций был указан Б.В. Гнеденко; затем М.Г. Крейн указал необходимые и достаточные ус-словия, при которых из равенства двух характеристических функций в каком-либо сегменте ( - а, а) следует их тождественное равенство.
6. Доказать, что можно найти такие независимые случайные величины ?3, что распределения {2 и ?3 различны, а функции распределения сумм и + ?3 одинаковы.
Указание. Воспользоваться результатами примеров 2а и 5.
7. Доказать, что если /(Г) является характеристической функцией, то функция
[ /(О при 1/1<д,
/(0 =
1/(Г + 2а) при — °° < t < °°
также является характеристической.
Указание: Воспользоваться теоремой Бохнера - Хинчина.
8. Доказать, что если /(/) является характеристической функцией, то функция
также является характеристической.
9. Доказать, что если функция /(Г) является характеристической, то функция
1 t
ipU) =--- I f(f)dt
t 0
также является характеристической.
10. Доказать, что для любой вещественной характеристической функции / (t) имеет место неравенство
1 -/(20 <4(1 -/(Г)),
а, значит, для любой характеристической функции - неравенство
1 - 1/(20 12 <4(1 - 1/(012).
11. Доказать, что для любой вещественной характеристической функции имеет место неравенство
