Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
3) длительность восстановления г? является случайной величиной с распределением G (х);
4) отказавший элемент после отказа немедленно начинает ремонтироваться; после восстановления элемент немедленно переходит в резерв.
Обозначим через f длительность безотказной работы пары элементов A j и А2 и через Ф(х) ее функцию распределения. Заметим, что под безотказной работой пары элементов мы понимаем период от начала работы до момента, когда оба элемента окажутся в состоянии отказа. Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы вывести уравнения до я неизвестной функции Ф(х). Нам будет удобно искать не функцию Ф(х), а функцию
Ф (х) =1 — Ф(х). И вообще для функции распределения (х) введем
обозначение F? (х) =1 —F^(x) =Р {? > х}.
Событие $ > х может наступить двумя принципиально различными способами: во-первых, может случиться, что элемент Ах сам проработает время большее, чем х, а, во-вторых, Аг может отказать до момента х, но система, состоящая из Ах (направленного на ремонт) и А2 (взявшего на себя нагрузку), проработает безотказно оставшееся до момента х время.
Обозначим через со (и) вероятность того, что только что описанная система проработает безотказно время, большее и. Собрав все вместе, мы
§ 38. Преобразование Лапласа-Стилтьеса
241
получаем следующее равенство:
Ф (л:) = F(x) + / и>(х - z) dF(z). (2)
о
Полученного равенства для решения стоящей перед нами задачи недостаточно, поскольку при его составлении мы ввели дополнительную неизвестную вероятность со. Для ее определения составим новое уравнение.
Найдем со (лг). Здесь также может случиться, что интересующее нас событие может наступить двумя различными путями: описанная нами система проработает больше, чем время х, поскольку элемент Аг проработает время большее х; элемент Аг откажет до момента х, но до этого момента будет восстановлен элемент A i и система, состоящая из отказавшего элемента Аг и вступившего в работу отремонтированного элемента A i, проработает по меньшей мере до момента х. Сказанное приводит нас к равенству
co(jc) = F(x) + f со (jc - z) G(z)dF(z). (3)
о
Для решения полученных уравнений мы воспользуемсяпреобразования-ми Лапласа — Стилтьеса. С этой целью введем в рассмотрение преобразования
оо оо
i/j(s) = / e~sx d<P(x), f(s)= f e~sx dF(x).
о 0
co(s)= / e sx dco(x), g(s) = / e sx G (x)dF(x).
о о
В терминах этих преобразований уравнения (2) и (3) принимают следующий вид:
ОО =/(s) w(s), w(s) =/(s) — g(s) + co(s)^(s)
Из них находим
/ч
*(*)=/(*)---------тт— • (4)
1 -g(s)
Формально задача решена, поскольку мы нашли преобразование Лапласа — Стилтьеса распределения Ф (jc) и, значит, по формуле обращения можем найти и саму функцию Ф(лг). Однако полученный результат позволяет получить многочисленные следствия, на которых мы остановимся
242
Гл. 7. Характеристические функции
Мы сейчас ограничимся определением средней длительности безотказной работы системы с резервом. Из формулы (4) находим
_ f'(s) + fXs)-g'(s) + g'(s)
?>(*) /0) f(s)-g(s) l-g(s)
Отсюда, положив s = 0, приходим к равенству
Но мы знаем, что
оо
Т=ЬЛ{=-<р'(Р)9 д= / xdF(x) = -f’(0)
о
и что
оо _
а = 1 - ?(0) = / G(x) dF(x)
JL
есть ни что иное как вероятность того, что длительность восстановления окажется больше, чем длительность безотказной работы элемента. Таким образом,
r-«(1+i-). (5)
Из этой формулы мы видим, что среднюю длительность безотказной работы дублированной системы можно повысить двумя различными путями:
1) увеличивать среднюю длительность безотказной работы элементов,
2) уменьшать продолжительность ремонта.
Как правило, первый способ достается большой ценой, тогда как второй — нуждается только в хорошей организации работ. К тому же он приносит, как это видно из формулы, более ощутимые результаты; особенно, если а « 0, т.е. если длительность восстановления оказывается, как правило, меньше длительности безотказной работы элемента.
Предположим теперь, что мы совершенствуем процесс восстановления и на я-й стадии достигаем функции распределения Gn(x) такой, что ап -> 0, не обращаясь при этом в 0.
Докажем, что если математическое ожидание длительности безотказной работы конечно и равно а, а ап -> 0, то имеет место следующее предельное соотношение:
§ 38. Преобразование Лапласа Стилтьеса 243
Иными словами мы докажем, что асимптотически длительность безотказной работы рассматриваемой системы двух элементов имеет показательное распределение.
