Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
х1 —8 л,+5 хз~$ Xj+S
Jc= I ¦+ / + / + / + / t(c,z;xux2)dF(z),
— оо Xj—б ге,+6 х2 — $ х2 +6
216
Гл. 7. Характеристические функции
где для краткости обозначено
1 с I sin t(z -jc,) sin t(z-x2) |
ф(с, z; jc,, x2) = — / ----------------- - --------------- f dt
n о i t t j
и 6 > 0 подобрано так, что xt + б < х2 — 8.
В области —00 < z < х, — 8 имеют место неравенства z - jc, < — 6 и г — jc2 < -6. Поэтому мы на основании (2) заключаем, что при с-+°°
х, -8
/ ф(с,г; хих2)dF(z) -»¦ 0.
__оо
Аналогично при х2 + 6<z<+°° и при с-*00 j ф(с, z; jc,, jc2) dF(z) -*¦ 0.
х2 +8
Далее, так как в области jc, + 6 < z < х2 — 6 имеют место неравенства z - jc, > 6 и z - х2 < 6, то согласно (2) при с ->°о
хг-S хг-6
/ ф(с, z- хи x2)dF(z) ->• / dF(z) = F(x2 - 8) - F(X! + 5).
xt +6 x, +8
Наконец, в силу (3) мы можем воспользоваться оценками
X,+6 X , +6
| / ф(с,г, хих2) dF(z) | < 2 / dF(z) = 2№, + 6) - F(*, - 6)]
-6 xt—6
И
x2+8 x2+6
I / i//(c, z; jc,, jc2) dF(z) | < 2 / c?F(z) = 2[F(jc2 + 6) - F(jc2 - 6)].
x2-« -6
Таким образом, находим, что при любом 5 > 0 lim Jc = F(x2 -6 )-F(jc, +8)+Ri(8,x1, x2)
И
lim Jc = F(x2 -8)-F(x1 + 6) + Д2(5, xb;c2),
С —+oo
где
I/?,(5, jc,, jc2)| <2 {F(jc, + 6) - F(jci - 6) +F(jc2 +6) - F(x2 - 5)} (/=1,2).
§ 33. Формула обращения
217
Пусть теперь 5—0. При этом из того, что хх и х2 являются точками непрерывности функции F(x), следуют равенства
lim F(Xi + 5) = lim F(X] - 5) =F(x1)
6—0 5—0
И
lim F(x2 +5) = lim F(x2 -8} ~F(x2).
6-0 6-0
А так как Jc не зависит от 5, то lim Jc = F(x2)~F(xl).
C~* 00
Равенство (1) носит название формулы обращения. Мы используем эту формулу для вывода следующего важного предложения (теорема единственности).
Теорема 2. Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией.
Доказательство. Действительно из теоремы 1 непосредственно следует, что в каждой точке непрерывности функции F (х) применима формула
1 +с e~‘ty _ e~‘tx
F(x) = — lim lim f -----;------ f(t) dt,
'2эт y-^—00 c—00 ~c it
где предел по у берется по множеству точек у, являющихся точками непрерывности функции F(x).
В качестве приложения последней теоремы мы докажем следующие предложения.
Пример 1. Если независимые случайные величины ? j и ? 2 распределены нормально, то их сумма ? = ?t + ?2 также распределена нормально. Действительно, если
M?i=ai, D^! = о\; М?2 = а2, D?2 = о\, то характеристические функции величин ^ и{2 равны
ia, t — — ст? t1 ia2 t— - ai t2
flit) = e 2 f2(t) = e 2
По теореме 3 § 32 характеристическая функция /(t) суммы равна
it(al +e, ) - - (ctJ +'о\ )t1
f(t) = f\ (t) ¦ f2 (t) = e
Это - характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием а = аг + а2 и дисперсией о2 = of + о\. На основании теоремы единственности заключаем, что функция распределения величины ? нормальна.
218 Гл. 7. Характеристические функции
Пример 2. Независимые случайные величины и ?2 распределены по закону Пуассона, причем
ХЬ_Х‘ *2е~К
P(Si =*>= ......-..- , Р(Ь =*}= ——.
&! &!
Докажем, что случайная величина ? = fi + ?2 распределена по закону Пуассона с параметром X = Xj + Х2.
Действительно, в примере 2 предыдущего параграфа мы нашли, что характеристические функции случайных величин и |2 равны
hit) = f2it) =
В силу теоремы 3 предыдущего параграфа характеристическая функция суммы % = 1-! +|2 равна
/(0=/i(0 -/а(0 =
т.е. является характеристической функцией некоторого закона Пуассона. Согласно теореме единственности единственное распределение, имеющее / it) своей характеристической функцией, есть закон Пуассона, для которой
(Xt + Ха)*е-<х,+х,)
Р{| = Л} = —-------^-------------- (*>0).
к\
Д.А. Райков доказал обратное более глубокое предложение: если сумма двух независимых случайных величин распределена по закону Пуассона, то каждое слагаемое также распределено по закону Пуассона.
Пример 3. Характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда соответствующая ей функция распределения симметрична, т.е. когда при любых х функция распределения удовлетворяет равенству
Fix) = 1 — Fi—x + 0).
Если функция распределения симметрична, то ее характеристическая функция вещественна. Это доказывается несложным подсчетом:
