Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы условимся обозначать в дальнейшем характеристическую функцию и соответствующую ей функцию распределения одними и теми же буквами, но только соответственно малой и большой.
Из того, что \ eltx\ =1 при всех вещественных t, следует существование интеграла (1) для всех функций распределения; следовательно, характеристическая функция может быть определена для каждой случайной величины
Теорема 1. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям:
*) t — действительный параметр. Математическое ожидание для комплексной случайной величины ? +/т) определяем как М? Легко проверить, что теоремы 1,2 и
3 § 22 справедливы и в этом случае.
ме 1 § 22
ДО = feitxdF(x).
(1)
Д0)=1, |Дг)|<1
(2)
210 Гл. 7. Характеристические функции
Док азательство. Соотношения (2) немедленно вытекают из определения характеристической функции. Действительно, по (1)
ДО) = /1 ¦ dF(x) = 1
и
| /(Г) | = | ; eitxdF(x) I < Л eitx 1 dF(x) = fdF(x) = 1.
Нам остается доказать равномерную непрерывность функции fit). С этой целью рассмотрим разность
fit + h) — fit) = feitx (eixh - 1) dF(x) и оценим ее по модулю. Имеем:
|ДГ + Й)-ДГ)1< f\e?xh-l\dF(x).
Пусть е > 0 произвольно; выберем столь большое А, чтобы
; dFix) < — ,
\х\>А 4
и подберем столь малое h, чтобы для | х | < А \ e>xh - 1| < е/2.
Тогда
А
lf(t + h)-f(t)f< f I e,xh - Ц dFix)+ 2 f dFix)<e.
— A ix\>A
Это неравенство доказывает теорему.
Теорема 2. Если т? = а% + Ъ, где аиЪ — постоянные, то
frSt) = fz(at) eibt,
где fv(t) и Д(г) означают характеристические функции величин т\и ?. Доказательство. Действительно,
/„(f) = М e,fr) = М e'f(at+b) = eitbMeitai = eitb f^at).
Теорема 3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций.
Доказательство. Пусть % и т? — независимые случайные величины и ? = X + т). Тогда очевидно, что вместе с ? и 17 независимы также случайные величины elt* и eltv. Отсюда вытекает, что
Me'f? = Me'f«+T)) = М (e/r? e'fr?) = М eitl* Meitr^.
Это доказывает теорему.
§ 32. Определение и простейшие свойства
211
Следствие. Если ? ~ ?i +?2 + ...+?„»
причем каждое слагаемое независимо от суммы предыдущих, то характеристическая функция величиныравна произведению характеристических функций слагаемых.
Применение характеристических функций в значительной степени опирается на свойство, сформулированное в теореме 3. Сложение независимых случайных величин, как мы видели в § 21, приводит к весьма сложной операции — композиции функций распределения слагаемых. Для характеристических функций эта сложная операция заменяется весьма простой — простым умножением характеристических функций.
Теорема 4. Если случайная величина ? имеет абсолютный момент п-го порядка, то характеристическая функция величины ? дифференцируема п раз и при к <п
Доказательство. Действительно Д-кратное (?<л) формальное дифференцирование характеристической функции приводит к равенству
и, следовательно, в силу предположения теоремы ограничен. Отсюда следуют существование интеграла (4) и законность дифференцирования. Положив в (4) f = 0, находим, что
Математическое ожидание и дисперсия весьма просто выражаются при помощи производных от логарифма характеристической функции. В самом деле, положим
/<*)(0) = ?*.
(3)
/(*>(,) = fxkeitxdF(x).
(4)
Но
| fxkeitxdF(x) К/| jc |* dF(x)
/•(*)(о) = jk fxkdF(x).
\p(t) = In/(f) .
Тогда
и
f'Xt)
212
Гл. 7. Характеристические функции
Приняв во внимание, что / (0) = 1 и равенство (3), находим, что
*'(О) =/'(0) = гЩ
и
Ф "(0) = / "(0) - [ / '(0)]2 = г2 М ?2 - [/М?]2 = -D %.
Отсюда
М?= т ф'(0)
(5)
И
D? =-ф”(0).
Производная к-го порядка логарифма характеристической функции в точке 0, умноженная на ik, называется семиинвариантом к-го порядка случайной величины.
Как это непосредственно следует из теоремы 3, при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются.
Мы только что видели, что первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т.е. момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и второго порядков. Путем вычислений легко убедиться, что семиинвариант любого порядка к есть (целая) рациональная функция первых к моментов. Для примера приведем явные выражения семиинвариантов третьего и четвертого порядков:
13ф"'(0) = — {М?3 -ЗМ?2 -М?+2[М?]3},
fVv(0) = М?4 — 4М?3М? 3 [М?2]2 + \2Щ2[Щ]2 -6[М?]4.
Рассмотрим теперь несколько примеров характеристических функций.
Пример 1. Случайная величина % распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией а2. Характеристическая функция величины % равна
