Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
?l 1 ?2, • ¦ • , in » ¦ • •
сходится почти наверное к случайной величине %, если с вероятностью единица для каждого целого положительного числа т найдется такое число п, что при всех к > 0 будут иметь место неравенства
Это выражение означает, что вероятность того, что найдется такое число г, что при всех п и хотя бы при одном значении к имеет место неравенство
(D
(2)
I Ьп+к - ?1>1 /'•
равна нулю.
Лемма 1. Если при любом целом положительном г
(3)
п = ]
то имеет место (1) или, что то же самое, (2).
*) Это понятие в точности соответствует понятию сходимости почти всюду в теории функций.
§31. Теорема В.И. Гливенко
203
Док азательство. Обозначим через Егп событие, состоящее в том, что выполняется неравенство
Из того, что событие Sr влечет за собой любое из событий Srn, в силу (4) получаем:
Положим, наконец,
S = S1 + S2 +S3 + . . .
Как нетрудно установить, это событие означает, что найдется такое г, что для каждого п (п = 1, 2, 3, ... ) хотя бы при одном к [к = &(л)] будут выполняться неравенства
что и требовалось доказать.
Лемма 2(теоремаБореля). Пусть ц — число наступлений события А при п независимых испытаниях, в каждом из которых событие А
Положим, далее,
оо
k = 1
Из того, что
оо
оо
1
/=п+1
мы в силу (3) выводим равенство lim Р {5„г}= 0.
(4)
оо
P{S'} =0.
(5)
\tn+k - s\> цг.
Так как
оо
Р{5}< Б Р{?'},
то в силу (5) Р{5 }= 0,
204
Гл. 6. Закон больших чисел
может появиться с вероятностью р. Тогда при п -+°° р{» ’P) = L
Заметим, что теорема Бореля является простейшим частным случаем теоремы А.Н. Колмогорова об усиленном законе больших чисел; здесь же дана только иная формулировка этого частного случая, отличная от общей формулировки теоремы § 30.
Р /М V
Доказательство. События —- р->0 и — - р ] ->-0, очевид-
п \п/
но, эквивалентны. Введем, как это мы уже неоднократно делали, вспомогательные величины /I,-, равные числу появлений события А при г-м испытании. Находим, что
м(--р) =-?- 2 2 2 2 M(ni-p)(pj-p)(nk-p)(pl-p).
\П ] П i= 1 / = 1 к= 1 1=1
Элементарный подсчет показывает, что
/ а \ 4 pa 1
м( - -И =— [«О3 +q3) + 3pq(n2 -и)] < — .
\ п ) п* Ап
Согласно лемме Чебышева
Г
2
4 п
Отсюда мы заключаем о сходимости ряда
.••к: -)¦>;)-
Применение предыдущей леммы доказывает наше утверждение.
Лемма 3. Если событие Е эквивалентно совместному осуществлению бесконечного числа событий Е1г Ег,...
E = ExE2 . . .
и каждое последующее событие Еп+1 влечет за собой предыдущее Еп, то РШ= Urn Р{Еп)
п-*-«»
Доказательство. Действительно, событие Ех можно двумя следующими способами представить в виде суммы несовместимых событий:
Ei = ЕхЕ2 +Е2Ё3 + ... + Еп_1Ёп + Еп
§31. Теорема В.И. Гливенко 205
И
Е1 = Е1Е2 + Е2Е3 + ... + Еп_\Ёп +ЕпЁп+1 +...+?¦.
Отсюда
?{Е1) = Р{Е1Е2}+Р{Е2Е3) + . .. + Р[Еп_ + Р{Еп)
и _ _ _
?{?!>'- PiE^} +Р{Е2Е3}+ . ..+ Р{Еп_хЕп) +
+ 9{ЕпЁ^^} + ... +Р{?’}.
Сравнение последних двух равенств приводит нас к соотношению
Р {?}= Р{?„} - 2 P[EkEkJhi}.
к=п
Так как вычитаемое в правой части есть остаток сходящегося ряда, то Р{?} = lim Р{?„}.
„-¦оо
Лемма 4. Если каждое из событий конечной или бесконечной последовательности Ei, Е2, . . . , Е,„ . . . имеет вероятность, равную единице, то вероятность их совместного осуществления также равна единице.
Доказательство. Рассмотрим сначала два события Е 5 и Е2, для которых
Р{?\} = Р{Е2} = 1.
Так как
Р{?\ +Е2} = Р{?\} + Р{Е2}— Р {ЕгЕ2} и Р{Ег +Е2) =1, то Р [EiEJ = 1.
Отсюда заключаем по индукции, что для любых п событий, для которых Р{Ь,}= Р{?2}= ... = Р{Еп} = \, выполняется также равенство
Р {ад ... Еп) =1.
Пусть теперь имеется бесконечная последовательность событий Е{, Е2, . . . , Еп,. . ., для которых
