Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р{Е1} = Р{Е2} = . . . = Р[Е„} = . . . = 1.
Так как очевидно, что
ЕХЕ2Е3 ... - Е iE2)(h хЕ2Ь3) . . .
206 Гл. 6. Закон больших чисел
и каждый последующий множитель в правой части равенства влечет за собой предыдущий, то согласно предыдущей лемме
9{Е1ЕгЕг ...} = lim ?{ЕхЕг ... Еп) ,
И-* оо
Это равенство доказывает лемму.
Теорема Гливенко. Пусть F (jc) — функция распределения случайной величины % u'Fn (jc) - эмпирическая функция распределения результатов п независимых наблюдений над величиной ?. Тогда при п^°°
Р { sup | Fn(x) - F(x) |->0} = 1.
_оо < X < оо
Доказательство. Обозначим через xrk наименьшее jc, удовлетворяющее неравенствам
к
F(x — 0) = F(x) < -< F(x + 0) 0fc=l,2,...,r).
г
Пусть Л означает событие, состоящее в том, что ? < хг к . Ясно, что Р {А}= F(xrk).
Так как частота появления события А равна F„ (хгк), то по теореме Боре-ля (лемма 2)
Р lFn(xr,k) -* F(xrk)}=l. (6)
Пусть теперь Егк есть событие, состоящее в том, что при л °
F„(xr>k) -> F{xr k) (*=1,2,..., г)
и
ЕГ = Е\Ё{... Егг.
Ясно, что событие Ег равносильно тому, что при п -*-00 max \Fn{xr k) - F(x к) | -»• 0.
1 <к<г
Так как согласно (6)
Р {?’,'¦}= ?{Е$) =... = р{ь;}= 1,
то в силу леммы 4 Р{ Er}= 1.
Пусть далее
Е= Е1ЕгЕ3 ...
Упражнения 207
Согласно лемме 4 ?{?•}= 1.
Обозначим, наконец, через S событие, состоящее в том, что при и sup I Fn (х) - F(x) | -* 0.
— оо < X оо
Для любого х, заключенного между хг к и xr,fc + i> выполняются неравенства
Fn(xr k + 0) < Fn(x)<Fn(xrk+})
И
F(xr k+ 0) < F(x) <F(xrk+1), причем
0 < F(xr k+ j) — F(xr k + 0) ^ 1 It,
Отсюда мы заключаем, что
Fn(xr,к + 0) - F(xr k+1) < F„(x) - F(x) <
< Fn(xr k+1) - F(xr k + 0), т.е. что
1 F„(x) - F(x) | < max | Fn(x k) - F(xr k) \ + l/r
Kk<r
и что, следовательно,
sup \Fn(x) - F(x) | < max | F„(xr k) - F(xr k) I + 1/r
— oo<X<oo 1 < fc < Г
Поскольку г произвольно, то из последнего неравенства вытекает, что Е СS. Этим, очевидно, доказано, что
Р{ sup | Fn{x) - F(x) | -* 0} = 1.
__оо < оо < оо
Упражнения
1. Доказать, что если случайная величина ? такова, что Меа^ существует (а > 0 — постоянная), то
Meai
2. Пусть f (х) > 0 - неубывающая функция. Доказать, что если существует М/(|?-М?|),то
„ , , М/(1 ? - М?|)
Р {I ? — М?| > е } <
№
208
Гл. 6. Закон больших чисел
3. Последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин {?,-} определена равенствами
а) Р{?„ = 2fc-lnfc-21n!n *}= {к = 1,2,3,...),
б) р{*:„ = *}= —-— (к >2, с-' = 2 —--------------- ).
к2 In2 к \ к-2 к2 In2 к )
Доказать, что к указанным последовательностям закон больших чисел применим.
4. Доказать, что к последовательности независимых случайных величин {?и} таких, что
Р{?и = «a} = PU„ = -«"}= 1/2,
закон больших чисел применим тогда и только тогда, когда а < 0,5.
5. Доказать, что если независимые случайные величины {?„} таковы, что
max / \х I c/Fk(x) -*¦ 0, когда 1«А:«я 1x1 >А
то к последовательности {?„ } применим закон больших чисел.
6. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что если для последовательности независимых случайных величин {?„} существуют такие числа а > 1 и ft что М Ш < 0, то к последовательности {?*.-} применим закон больших чисел (теоремы Маркова),
7. Дана последовательность случайных величин {?к}, Для которых D?„ < С, Rjj -* 0 при I г - / I -*• ” (Rfj - коэффициент корреляции между ?,¦ и ?у). Доказать, что к данной последовательности применим закон больших чисел (теорема С.Н. Бернштейна) .
ГЛАВА 7
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Мы видели в предыдущих главах, что в теории вероятностей широко используются методы и аналитический аппарат различных отделов математического анализа. Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, удается получить с помощью характеристических функций, теория которых развита в анализе и известна под именем преобразований Фурье. Настоящая глава посвящена изложению основных свойств характеристических функций.
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций
Характеристической функцией случайной величины ? называется математическое ожидание случайной величины е"**), Если F(x) есть функция распределения величины ? то характеристическая функция равна по теоре-
