Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
условие Маркова принимает вид: при п -*
1 «
— 2 Dfc-O.
П к = 1
Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова.
§ 29. Необходимое и достаточное условие дня закона больших чисел
Мы уже указывали, что закон больших чисел является одним из основных предложений теории вероятностей. Отсюда становится понятным, почему так много усилий было положено на то, чтобы установить наиболее широкие условия, которым должны удовлетворять величины ? 1 > > • • • > ?ш • • - > чтобы для них имел место закон больших чисел.
История вопроса такова. В конце XVII - начале XVIII века Яков Бернулли нашел предложение, получившее его имя. Теорема Бернулли была впервые опубликована в 1713 г., после смерти автора, в трактате ”Ars Conjectandi” (Искусство предположений). Затем в начале XIX века Пуассон доказал аналогичную теорему в более широких условиях. До середины XIX века не было достигнуто каких-либо новых успехов. В 1866 г. великий
192
Гл. 6. Закон больших чисел
русский математик П.Л. Чебышев нашел метод, изложенный нами в предыдущем параграфе. Позднее А.А. Марков заметил, что рассуждения Чебышева позволяют получить более общий результат (см. § 27).
Дальнейшие усилия долго не приносили принципиальных успехов, и лишь в 1926 г. А.Н. Колмогоров получил условия, необходимые и достаточные для того, чтобы последовательность взаимно независимых случайных величин ?], %г, ..., ?„, ... подчинялась закону больших чисел. В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины ?„ не только независимы, но и одинаково распределены, то существование математического ожидания М?„ является достаточным условием для применимости закона больших чисел.
В последние годы много работ было посвящено определению условий, которые следует наложить на зависимые величины, чтобы для них выполнялся закон больших чисел. Теорема Маркова принадлежит к предложениям этого рода.
Используя метод Чебышева, легко получить условие, аналогичное условию Маркова, но уже не только достаточное, но и необходимое для применимости закона больших чисел к последовательности произвольных случайных величин.
Теорема. Для того чтобы для последовательности
(как угодно зависимых) случайных величин при любом положительном е выполнялось соотношение
( 1 и ] „
lim Р — 2 ----------2 Щк
(1)
необходимо и достаточно, чтобы при п-*°°
п
( 2 (Цк -М?*))2
к =1
(2)
П
п2 + ( 2 & - Щк))2
к = 1
Доказательство. Предположим сначала, что (2) выполнено, и покажем, что в этом случае выполнено также (1). Обозначим через Фп(х) функцию распределения величины
29. Необходимое и достаточное условие
193
Легко проверить следующую цепочку соотношений:
- I (fc-Mfc)
tl к - 1
> 6 | = Р{| г)„ \ >е} =
1 + е2
\х \ > е 1+62
/ “j---------2 йФ” W <
х I» е 1 + JC
х2 1 + е2 п2
/ -------d4>„{x) = —г-- М
*)
1 +х2
Это неравенство доказывает достаточность условия теоремы. Покажем теперь, что условие (2) необходимо. Легко видеть, что
Р{\Пп\>е)= / с1Фп(х)> /
1х 1>е
4Ф„(х) =
= /~Г~~у<1Фп{х)- / ----- ёФп(х)>
>/¦
1 +х‘
¦ <1Фп (х) - е2
\ х I < е 1 + X
nl
м
1+п2„
• — 6
(3)
Таким образом,
Мл
0<М ----------г <е2 + Р{[ \>е).
1 + Мл
Выбирая сначала е сколь угодно малым, а затем п достаточно большим, мы можем сделать правую часть последнего неравенства сколь угодно малой.
Отметим, что все теоремы, доказанные в предыдущем параграфе, легко вытекают из только что доказанного общего предложения. Действительно, так как при любом п и любых имеет место неравенство
1 +п2„
- s {%к-Щк
п к = 1
то в случае существования дисперсий отсюда вытекает неравенство
М
1+п2„
1 "
< —D 2 %к. п к- 1
*) Последнее равенство мы пишем на основании формулы М/Ш = f f(x)clFt (х)
(см. теорему 1 § 22).
7. Б.В. Гнеденко
194
Гл. 6. Закон больших чисел
Таким образом, если условие Маркова выполнено, то выполнено также условие (2) и, следовательно, последовательность §1; %г, ..., ... под-