Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
чиняется закону больших чисел.
Все же мы должны заметить, что в более сложных случаях, когда у величин не предполагается конечных дисперсий, доказанная теорема для фактической проверки применимости закона больших чисел весьма мало пригодна, так как условие (2) относится не к отдельным слагаемым, а к их суммам. Однако рассчитывать на то, что, не сделав никаких предложений о величинах и о существующей между ними связи, удастся найти необходимые и достаточные условия, к тому же удобные для приложений, по-видимому, нельзя.
Если предположить,что величины %\,%гЛг, • • ¦ взаимно независимы, то можно показать, что условие (2) эквивалентно следующему: при п ->¦ 00
п Г2
к = 1 п2 + где обозначено
Кк ~ ^к —
Практическое использование только что доказанных теорем встречает одно принципиальное затруднение: можем ли мы считать, что изучаемое нами явление или производственный процесс протекают под воздействием независимых причин? Не противоречит ли само понятие независимости нашим основным представлениям о взаимосвязи явлений внешнего мира? При математическом изучении тех или иных явлений природы, технических процессов или тех или иных общественных явлений мы прежде всего должны выводить наши основные предпосылки, опираясь на глубокое изучение существа самого явления, качественных его особенностей. Мы должны учитывать изменение внешних условий, в которых протекает изучаемое нами явление и изменять математический аппарат и предпосылки, лежащие в основе его применения, как только обнаружится, что условия осуществления явления изменились.
Отбрасывая несущественные связи между причинами, под влиянием которых развивается изучаемое явление, мы приходим к возможности в качестве рабочего аппарата пользоваться независимыми случайными величинами. Насколько удачно мы произвели схематизацию явления, насколько удачно выбран нами математический аппарат для его изучения, мы можем судить по согласию созданной нами теории с практикой. Если наши теоретические результаты существенно расходятся с опытом, то мы должны пересмотреть предпосылки, в частности, если идет речь о применимости закона больших чисел, то быть может придется отказаться от предположения о полной независимости действующих причин и перейти к предположению об их зависимости, быть может и слабой.
§ 30. Усиленный закон больших чисел
195
Мы уже говорили, что накопленный опыт использования теорем о законе больших чисел показывает, что условие независимости удовлетворительно во многих важных задачах естествознания и техники.
§ 30. Усиленный закон больших чисел
Нередко из теоремы Бернулли делают совершенно необоснованный вывод, что частота события А при безграничном увеличении числа испытаний стремится к вероятности события А. На самом же деле теорема Бернулли устанавливает только тот факт, что для достаточно большого числа испытаний п вероятность одного единственного неравенства:
^ <€
может быть сделана больше чем 1 — 7? при произвольном г)> 0. В 1909 г. французский математик Э. Борель обнаружил более глубокое предложение, согласно которому при любых е>0иг/>0 можно указать такое п0, что, каково бы ни было s, вероятность одновременного выполнения неравенств
< е
для всех п, удовлетворяющих неравенствам п0 < п < л0 + s больше чем 1 — г?.
Эту теорему мы выведем из теоремы Колмогорова об усиленном законе больших чисел.
Неравенство Колмогорова. Если взаимно независимые случайные величины ••• ,%п имеют конечные дисперсии, то ве-
роятность совместного осуществления неравенств к
I 2 й-МУ1<е (к = \ ,2,.. . , п)
S = 1
не меньше, чем
1 и
1-— S D&.
€ к = 1
Доказательство. Введем обозначения к
Vk ~ ?к — , Sk= 2 tj. .
/= i
Пусть, далее, Ек обозначает событие, состоящее в том, что
I S) | < е для j<k- 1 и | Sk\>e;
Е0 означает событие, состоящее в том, что | Sj | < е для / < п.
196
Гл. 6. Закон больших чисел
Так как событие, состоящее в том, что хотя бы при одном
Аг (1 < к < п) будет выполнено неравенство
\Sk[>e (к =1,2,..., и)
П
(иными словами, что max \Sk \ > е) равносильно событию 2 Ек, то
1 « fc « п к = 1
в силу несовместимости событий Ек Р{ max \Sk\>e}= 2 Р (Ек).
1 <к< п к = 1
Согласно равенству ((5) § 23)
DS„= 2 Р{Ек)-ЩБ2п\Ек)> 2 P(i:k) ¦ М (.S' % \ Ек). к = 0 к = 1
Очевидно, далее, что
M(S2 |?fc) = M{S|+2 2 SkVj+ 2 т>2+2 2 v,Vh\Ek}>
j > fc / > к ’ j> h> k 1
>M{S2k+2 2 Sk n. + 2 2 n n \Ek) .
/ > fc ' j> h>k 1
Так как осуществление события Ек налагает ограничение только на значения первых к из величин а последующие остаются при этом условии независимыми друг от друга и от Sk, то
