Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1при ! %„ | < п,
I 0 при 1| > п.
Тогда получим:
= fnx2dF(x)< 2 (к + 1)2Р{/с<| ?|</с+ 1}
-п к = 0
И
~ ~ "¦ (/с + 1)2
2 —-< 2 2 -------— Р{*<|{|<*+1}<
л = 1 П л = 1 к-0 П
< 2 Р{/с<| ?|</с + 1} (к + I)2 2
fc =0 л>к П
Так как
оо 1 112
2 <—- +—< — ,
п>к п к к к
то в силу (1) находим, что
оо D?*
2 ---12-<оо
л = 1 пг
200
Гл. 6. Закон больших чисел
т.е. t*n удовлетворяют усиленному закону больших чисел. Далее
при каком-либо w>vV}< 2 =
= 2 Р{|?„|>«}<-
(2)
при N>N0(e).
Выберем v0 столь большим, чтобы при v > v0(e, tj)
I
к = 1
р
(3)
Р
(4)
Наконец, так как ?* удовлетворяет усиленному закону больших чисел, то
Из (2), (3), (4) и (5) выводим
P{max | v„ 1 > tj; n>v}<e
при v > max(y0, "i, N0), т.е. и ?„ удовлетворяют усиленному закону больших чисел.
Принципиальная роль усиленного закона больших чисел в теории вероятностей и в ее приложениях весьма велика. Действительно, предположим на минуту, что, скажем, в случае одинаково распределенных слагаемых, имеющих конечное математическое ожидание, усиленный закон не имеет места. Тогда с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что будут повторяться моменты, когда средняя арифметическая результатов наблюдений будет далека от математического ожидания. И это бы случилось даже в тех случаях, когда наблюдения производятся без систематической ошибки и с полной определенностью (величина 5, о которой была речь в § 28, равна 0). Можно ли было бы в таких условиях считать, что среднее арифметическое из результатов наблюдений сближается с измеряемой величиной, могли ли бы мы в этих условиях считать, что среднее арифметическое можно считать за,приближенное значение измеряемой величины? Сомнительно.
(5)
П
где
2 (Яп-т*п).
П к =1
§ 31. Теорема В.И. Гливенко
201
§ 31. Теорема В.И. Гливенко
Мы перейдем теперь к доказательству теоремы Гливенко, которая вскоре после ее обнаружения получила в математической литературе название основной теоремы математической статистики. Речь идет об оценке неизвестной функции распределения случайной величины % на основе результатов независимых испытаний. Пусть функция распределения случайной величины равна F(x) а результаты последовательных независимых испытаний в неизменных условиях будут
Xi, х.2,... ,х„ (1)
Последовательность результатов испытаний мы расположим в возрастающем порядке. Обозначив k-t по величине наблюденное значение через х? мы можем последовательность (1) записать в следующем виде:
Эта последовательность, т.е. последовательность наблюденных значений исследуемой случайной величины, расположенных в возрастающем порядке, носит название вариационного ряда.
Эмпирической функцией распределения Fn(x) мы назовем функцию, определенную следующими равенствами:
[0 при Fn(x)=\k/n при х? <х <х? + 1,
Ясно, что эмпирическая функция распределения монотонна, непрерывна слева и имеет точки разрыва только при значениях аргумента, равных членам вариационного ряда. Величины скачков в точках разрыва являются целыми кратными от 1/и. Для дальнейшего подчеркнемте обстоятельство, что при каждом значении х ордината Fn(x) является случайной величиной, возможные значения которой будут 0, 1/и, .. . , (и — 1 )/и, п/п = 1. Вероятность равенства Fn (х) = к/п, как легко видеть, равна
В простейшем частном случае, когда случайная величина % может принимать лишь конечное число значений ах, а2, .. ., а:5 членами вариационного ряда обязательно будут только числа этой последовательности. Согласно закону больших чисел, если тх, т2, . .., ms (тх + тг + . .. + ms = п) будут обозначать соответственно чиста испытаний, при которых % - ах, | = а2, ..., ? = as, то при достаточно большом значении п частоты будут представлять приближенные значения неизвестных нам вероятностей
п •
p{f„(x) = } = C„*{F(*)>* (1 - F(x))n-k
202
Гл. 6. Закон больших чисел
Р1 = Р{? = , Рг = РЦ = аг),... ,ps = Р{? = я*}. Более того, в нашем
случае имеет место и усиленный закон больших чисел.
Прежде чем переходить к формулировке и доказательству теоремы, составляющей содержание настоящего параграфа, мы установим несколько вспомогательных предложений.
Рассмотрим некоторую последовательность случайных величин
* ’ • • > % п > * • ‘
Событие, заключающееся в том, что эта последовательность сходится к некоторой случайной величине ?, имеет в силу принятых нами аксиом, как мы увидим при доказательстве леммы 1, определенную вероятность.
Если эта вероятность равна единице, то мы скажем, что последовательность {? „} сходится к | почти наверное*).
В другой форме утверждение о сходимости почти наверное можно выразить так: последовательность случайных величин
