Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
189
то теорема Бернулли является простейшим частным случаем теоремы Чебышева.
Так как на практике часто неизвестные вероятности приходится приближенно определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. При этом рассматривались события, вероятности которых можно считать по тем или иным соображениям известными, относительно которых легко проводить испытания и обеспечить независимость испытаний, а также постоянство вероятностей в каждом из испытаний. Все подробные опыты дали прекрасное совпадение с теорией. Мы приведем результаты нескольких таких легко воспроизводимых экспериментов.
В примере 5 § 3 мы рассмотрели результаты 100 разделений колоды карт на две равные части. Интересующее нас событие состояло в том, что в каждую полуколоду попадет одинаковое число красных и черных карт. В рассмотренном случае получилось довольно значительное окончательное (при п = 100) уклонение частоты от вероятности (приблизительно равное 0,02). По теореме Лапласа вероятность получить такое уклонение или еще большее равна
Таким образом, если повторить указанный эксперимент большое число раз, то приблизительно в двух третях случаев получится уклонение, не меньшее, чем полученное в нашем опыте.
Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона приближенно равна 0,507.
Английский статистик К. Пирсон бросил монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба. Частота выпадения герба в этом опыте Пирсона равна 0,5016.
В другой раз он бросил монету 24000 раз, и герб при этом выпал
12 012 раз; частота выпадения герба при этом оказалась равной 0,5005. Во всех приведенных опытах частоты лишь немного уклонялись от вероятности — 0,5.
2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в к-м испытании равна рк, то
р > 0,02] = РI -—— >0,02 V—Ul-2ф(0,02
> I \/npq PQ > \ РЯ)
= 1 -2Ф
( 0,02 v----—------) = 1 - 2Ф(0,455) « 0,65.
\ 0,26-0,74/
lim
190
Гл. 6. Закон больших чисел
где, как обычно, через д обозначено число появлений события А в первых п испытаниях
Введя в рассмотрение случайные величины jufc, равные числу появлений события А в &-м испытании, и заметив, что Mjuk=pk, Dm* =pkqk < 1/4,
мы убеждаемся, что теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева.
Ъ.Если последовательность попарно независимых случайных величин ?и Ь, - • ¦. in, ¦ • - такова, что
Щг =Щ2 =. ,. = Щ„ = .. ,=а
и
Db<c, 0Ь<С,...,01-п<С,..., то, каково бы ни было постоянное е > 0,
lim Р
П -> се
1 я
— 2 - а
П k = 1
<6 =1
Этот частный случай теоремы Чебышева дает основание правилу среднего арифметического, постоянно употребляющемуся в теории измерений. Предположим, что производится измерение некоторой физической величины а. Повторив измерения п раз в одинаковых условиях, наблюдатель получит не вполне совпадающие результаты Xi, х2, ..., хп. В качестве приближенного значения а принято брать среднее арифметическое из результатов наблюдений
X j + х2 + . . . + хп
а--------------------.
п
Если измерения лишены систематической ошибки, т.е. если
№Ui = Мдс2 = . .. - Мдс„ = а,
и если сами наблюденные значения не обладают неопределенностью, то согласно закону больших чисел при достаточно больших значениях п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, мы указанным путем можем получить значение, сколь угодно близкое к искомой величине а. Сказанное мы должны пояснить следующим: если измерительный прибор устроен так, что он не может давать точности отсчета большей, чем некоторая величина 6, например, из-за того, что ширина деления шкалы, по которой производится отсчет, равна 6, то, понятно, нельзя и рассчитывать получить точность измерения, большую, чем ± 6. Каждое измерение в этом случае
§ 29. Необходимое и достаточное условие
191
дает результат с неопределенностью 5; но ясно, что при этом и среднее арифметическое будет обладать той же неопределенностью, как и каждое измерение. Это замечание учит нас, что если приборы дают нам результаты измерений с некоторой неопределенностью 5, то стремиться посредством закона больших чисел получить значение а с большей степенью точности является заблуждением, а сами произведенные при этом вычисления превращаются в арифметическую забаву.
Мы ограничимся формулировкой теоремы Маркова; ее доказательство является очевидным следствием неравенства Чебышева.
Теорема Маркова. Если последовательность случайных величин ? 1. ?2, • • • , ?л, ¦ ¦ ¦ такова, что при п-+<*>
1
D ( 2
А: =1
Ы-о,
(4)
то, каково бы ни было положительное постоянное е,
lim Р
п к ¦¦
Щк
<е =1
Если случайные величины ?ь ?2, ¦ ¦ ¦, попарно независимы, то
