Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
М(SkV. | Ек) = M(S* | Ек) ¦ МЦ I t'k) = О
и
м(ЧуЧ;, I ^fc) = 0 (h Ф}, h> к, j>k> 1).
Кроме того, согласно (1) имеет место неравенство
U(S\\Ek)>e2 (к>\).
Мы можем написать поэтому, что
DSn>e2 2 PUfc}. к = 1
Отсюда
2 P{?fc}=Pl max \Sk\>e}<-^-DS„.
к = 1 1 < к < п е
Неравенство Колмогорова доказано.
Мы скажем, что последовательность случайных величин
?з> • • •
подчиняется усиленному закону больших чисел, если, каковы бы ни были
§ 30. Усиленный закон больших чисел 197
е > 0 и г? > 0, можно указать такое п0, что для любого s и всех и, удовлетворяющих неравенствам п0 < п < п0 + s, вероятность неравенства
шах
< И < п„ + S
1 п 1 и
- 2 ------2 Щк
П к = 1 п к = 1
С,
больше, чем 1 — т?.
Теорема Колмогорова. Если последовательность взаимно независимых случайных величин ?i, • • • удовлетворяет условию
2 —— < + °°, п = 1 п
то она подчиняется усиленному закону больших чисел. Доказательство. Положим
» 1
~ in ~ .S',, - 2 и/; =
k = 1 Л
Рассмотрим вероятность
Pm =P{max| v„ \>е, 2т <п<2т + Ч.
Так как
Рт <Р{шах | v„\>е, 1<и<2т + 1},
то согласно неравенству Колмогорова
2 °$7-
(2 е) ,< 2т + '
Так как, далее,
Р { max \v„\>e для п > v} < 2 Р„
т - р
где р определяется из неравенств 2 р < 2 р f 1, то ясно, что
1 00 1
Р (шах \и„ \ >е для п > v} < — 2 ——- 2 D?;-
€ т-р 2 /<2m + l
После перемены порядка суммирования в правой части последнего неравенства получим:
оо 1 оо / 1 \
2 m ^ D^' = 2 -,2т ) ’
т = р L . у < 2w / = 1 \ ^ /
где сумма 2у распространена на те значения т > р, для которых 2m +1 >/.
198 Гл. 6. Закон больших чисел
При /' < 2 р+1 коэффициент при D?,¦ равен
1 3
_ лт ip-1 1
m >р 4 4^
3
4то
а при 2m°+1>/>2m° > 2P+1 этот коэффициент равен —т _¦ ^ <
3-16 3-16
< ----;---г <
22(mo+1) /2
Таким образом:
се 1 3 2Р <*> D?,-
2 -Т— 2 Dfc<------Г 2 Dfc + 3-16 2 —
m*„2 2mi<2m+i 4 Р-‘/ = , / = 2^i + 1 /2
3 Р 2P+1 D?; - D?,
<----Г 2 D& + 3-4 2 v + 3-16 2 —
4Р ~ / = 1 * /=Р + 1 22<р + 1> /=2р^ + 1 /
3 р 2р+1 о?,- «о Dfc
<------г- 2 Dfc + 3-4 2 —7- + 3-16 2 -L.
4р /=1 ; /=р+1 /2 /=2р+1+1 i
D?„
В силу сходимости ряда 2 —— :
п
1°. Две последние суммы в написанном выше неравенстве могут быть сделаны сколь угодно малыми при р достаточно большом.
2°. Существует такая постоянная С, что D?„ < Си2, откуда следует, что
3 ? 3 • Ср3
4р +1 / = 1 4р-‘
т.е. и первая сумма может быть сделана сколь угодно малой при достаточно большом р.
Из всего сказанного следует, что при п0 достаточно большом
Р{тах|и„|>е для n>v}
может быть сделана сколь угодно малой, что и требовалось доказать.
Следствие. Если дисперсии случайных величин ?* ограничены одной и той же постоянной С, то последовательность взаимно независимых случайных величин ?i, ?2> ?э> • - • подчиняется усиленному закону больших чисел.
Один окончательный результат, относящийся к усиленному закону больших чисел, был получен также А.Н. Колмогоровым для случая одинаково распределенных независимых слагаемых.
§ 30. Усиленный закон больших чисел 199
Теорема. Существование математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности одинаково распределенных и взаимно независимых случайных величин.
Эту теорему мы можем вывести из уже доказанной нами теоремы Колмогорова.
Действительно, из существования математического ожидания следует конечность интеграла /1 х I dF(x), где F(x) — функция распределения случайных величин %п.
Поэтому
2 Р{|?|>«}= 2 2 Р{*<|$1<*+1> =
п = I п = 1 к > п
= 2 кР{к<\| |</с+ 1} < 2 / \x\dF(x)<
л = 1 к = 0 t < |д: | < t +1
</|x|c?F(x)<» (1)
Введем в рассмотрение случайные величины
