Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Если в схеме последовательности независимых испытаний в каждом из испытаний возможны к исходов, причем вероятность каждого из исходов не зависит от номера испытания и отлична от 0 и от 1, то какова бы ни была область G гиперплоскости (2), для которой (к — 1)-мерный объем ее границы равен нулю, равномерно относительно G при п -*¦имеет место соотношение
Pn{G} -*•>/ 4x42 I е~ 2 l4l'Xhu,
к G
(2-п)к~х 2 Piq/
/= 1
где dv означает элемент объема области G и интеграл распространяется на область G.
Доказательство и по идее и по осуществлению является почти полной копией рассуждений, проведенных при доказательстве интегральной теоремы Муавра—Лапласа.
Замечание. Только что сформулированной теореме мы придали форму, в которой все переменные хх, х2 , . . . , хп играют одинаковую роль.
В интегральной теореме Муавра—Лапласа мы, однако, предпочли проводить рассуждения, нарушив однородность переменных Xj и х2, только с переменным х = х i. Геометрически это означало, что мы рассматриваем не сами результаты испытаний (целочисленные точки на прямой X! +х2 = = 0), а их проекции на ось ОХ. Подобным же образом мы можем, на-
§; 11. Интегральная предельная теорема 91
рушив однородность и в общем случае, рассмотреть интегрирование не по области G, а по ее проекции G' на какую-либо координатную гиперплоскость, скажем, на плоскость хк = 0. Элемент объема dv' в гиперплоскости хк = 0 связан с элементом объема dv гиперплоскости (2) соотношением
dv' = dvcosip,
где ^ — угол между указанными гиперплоскостями. Легко подсчитать, что
VPkQk
cosy-
В координатной гиперплоскости элемент объема dv' = dxldx2.. ¦ dxk_l, поэтому имеет место равенство
Я\Яг- ¦Як
(277)*-1 Zpiqt
¦ Чк- 1
2Xqix^, f е dv =
1 к
xi
f е 2 1 dx1...dxk_j.
(2тт) pk o'
В подинтегральной функции мы должны произвести замену хк на его выражение через х j, хг,..., хк_,:
1 к-1 хк = - ——— I \fprfi */•
\РкЯк '=1
В результате этой замены мы имеем:
* ’ , Р‘ V г ^/PiQiPjQj
1, qiXj= L j 1 + — ) Xf + 2 Ъ xtxj ------------
i=i (=i \ pkJ
Pk
= Q(xi,x2,.. .
Интегральная предельная теорема может быть, таким образом, сформулирована иначе, а именно:
В условиях интегральной предельной теоремы при п -+°°
Р(С)- / е 1 dxidx2...dxk__
1
QiQ2 --Qk-\ r -~Q(xi’xi'-’xk-1)
(2n)k lpk G'
(14)
Понятно, что интегральная теорема Муавра—Лапласа является частным
1 •
92 Гл. 2. Схема Бернулли
случаем только что доказанной теоремы: она легко может быть получена из формулы (14).
Для этого достаточно заметить, что в схеме Бернулли к = 2, р — Р\,
q-Рг = 1 -Р-
При к = 3 формула (14) принимает следующий вид:
1
У <7i<72 г - 2
qlq2 ~~zQ(x I-**)
(2ir)2p3 6'
P(G)^V --------r— f e 2 dxxdx2,
где
Ръ = 1 ~Pi -Рг,
Q(xi,x2) = qi^l + +<72^1 +
1^(Л?+Л1+2У^^2\
Рз \ <7i<72 /
2 VPl<7lP2<72
x2 +2 ----------------*1*2
Рз
= <7
Рз
Простой подсчет показывает, что Рз = 1 - Pi -р2 =<7i<72 -Р1Р2, поэтому
2(*1,Л2)= ------------(x? + х^ + 2V^^ х^Д
Р1Р2 \ <?1 <?2 /
1 -
<71 <?2
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра—Лапласа
В качестве первого приложения интегральной теоремы Муавра—Лапласа мы оценим вероятность неравенства
п I
где е > 0 — постоянное. Имеем
§ 12. Применения интегральной теоремы
93
и, значит, в силу интегральной теоремы Муавра—Лапласа
z2
lim Р
п
<е =
1
s/bn
~fe 2 dz-\.
Итак, каково бы ни было постоянное е > 0, вероятность неравенства
¦~Р
< е стремится к единице.
Обнаруженный нами факт был впервые найден Я. Бернулли; он носит название закона больших чисел или теоремы Бернулли. Теорема Бернулли и ее многочисленные обобщения являются одними из важнейших теорем теории вероятностей. Через них именно теория соприкасается с практикой, именно в них заложен фундамент успехов применения теории вероятностей к различным проблемам естествознания и техники. Об это будет подробнее сказано в главе, посвященной закону больших чисел; там же мы дадим доказательство теоремы Бернулли более простым методом, отличным, как от только что изложенного, так и от употребленного Я. Бернулли.
