Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так как все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, 2 раза,. .., п раз, то ясно, что
2 Рп ("О = 1 •
т =0
Это соотношение может быть выведено и без учета теоретико-вероятностных соображений, поскольку по формуле бинома Ньютона
2 P„(m) = (p+q)n = Г=1.
т —О
Имея в виду постановку общих задач, относящихся к схеме независимых испытаний, рассмотрим теперь числовые примеры. Встречающиеся в них расчеты мы не станем доводить до окончательного числового результата, поскольку эти подсчеты лучше оставить до того момента, когда будут подготовлены удобные и достаточно точные методы для их осуществления.
§ 9. Вводные замечания 75
Пример 1. Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0,005. Чему равна вероятность того, что из 10 000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется а) равно 40, б) не более 70?
В нашем примере п = 10 000, р = 0,005, поэтому по формуле (1) находим :
а) Pi о о о о (40) = Ct go о о (0,995)9 9 6 °(0,005)4 0.
Вероятность того, что число бракованных изделий окажется не большим 70, равна сумме вероятностей числу бракованных изделий оказаться равным 0, 1, 2,. . . , 70. Таким образом
б)Р{д<70}= 2 Рп(т)= 2 <TooooO,9951000°-mO,005m.
т=0 т=0
Пример 2. Имеются два сосуда А и В, каждый объемом в 1 дм3. В каждом из них содержится по 2,7 • 10*2 молекул газа. Эти сосуды приведены в соприкосновение так, что между ними происходит свободный обмен молекулами, но нет общения с внешней средой. Чему равна вероятность того, что по истечению некоторого времени в одном из сосудов число молекул будет отличаться от числа молекул в другом по меньшей мере на одну десятимиллиардную часть?
Для каждой молекулы вероятность оказаться в определенном сосуде равна половине. Таким образом, как бы производится 5,4 • 1022 испытаний, для каждого из которых вероятность попасть в сосуд А равна 0,5. Пусть /л — число молекул, попавших в сосуд А, и, следовательно
5,4 • 1022 —Ц есть число молекул, попавших в сосуд В. Нам нужно определить вероятность того,что
5 4 • 1022
| jli - (5,4 - 1022-ц)\> - р = 5,4 • 1012
Иначе говоря, нужно найти вероятность р = Р{ \ ц — 2,7 ¦ КР'2\>2,7 • 1012}.
Согласно теореме сложения р = hPn(m), где сумма распространена на те значения т,для которых | т - 2,7 ¦ 10221 > 2,7 • 1012.
Рассмотренные примеры показывают, что при решении реальных задач постоянно возникают задачи, требующие приближенного вычисления t
сумм 2 Рп{т) для заданных и t при достаточно больших п. Точно также
m-s
76
Гл. 2. Схема Бернулли
необходимы приближенные формулы для вычисления вероятностейР„(т) при больших значениях тип или же при малых т, но больших п. Эти задачи будух решены нами в ближайших параграфах. Сейчас же мы обратимся к установлению некоторых элементарных фактов, относящихся к изучению поведения Р„(т) как функции т. Для 0 < т < п, как легко подсчитать,
Рп(т + 1) п - т р
Рп{т) т + 1 q
Отсюда следует, что
Р„(т + 1 )>Р„(т), если (и - т)р >{т + 1)^,т.е. если пр - q>m\
Р„(т + 1 ) = Р„(т), если т = пр - q и, наконец,
Рп{т+ 1)< Р„(т)
если т> пр - q.
Мы видим, что вероятность Рп(т) с увеличением т сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте т убывает. При этом если пр - q является целым числом, то максимальное значение вероятность Р„(т) принимает для двух значений т, именно для т0 = пр — q и то = пр - q + 1 = пр + р. Если же пр - q не является целым числом, то максимального значения вероятность Рп{т) достигает при т =т0, равном наименьшему целому числу, большему т0. Число называют вероятнейшим значением ц. Мы видели, что если пр — q есть целое число, то имеет два вероятнейших значения: т0 и т'0 = т0 + 1.
Таблица 7
?п(т) т Рп(т) т Рп(>») т РпО”)
---
<5 0,0000 11 0,0287 18 0,1080 25 0,0059
5 0,0001 12 0,0470 19 0,0910 26 0,0028
6 0,0004 13 0,0679 20 0,0704 27 0,0012
7 0,0012 14 0,0879 21 0,0503 28 0,0005
8 0,0033 15 0,1077 22 0,0332 29 0,0002
9 0,0077 16 0,1178 23 0,0202 30 0,0001
10 0,0157 17 0,1 178 24 0,01 13 >30 0,0000
§ 10. Локальная предельная теорема
77
Отметим, что если пр - q < 0, то
Л,(0)>Л,0)>... >РЛп),
а если пр - q = 0, то
Рп(0) = Рп(1)>Рп(.2)>...>Рп(п).
В дальнейшем мы увидим, что при больших значениях п все вероятности Рп(т) становятся близкими к нулю, но только для т, близких к вероятнейшему значению т0, вероятности Рп(т) сколько-нибудь заметно отличаются от нуля. Этот факт впоследствии будет доказан нами, а сейчас проиллюстрируем сказанное числовым примером.
Пример 3. Пусть и =50, р = 1/3.
Вероятнейших значений два: т0 = пр - q = 16 и т0 + 1 = 17. Значения вероятностей Рп(т) с точностью до четвертого десятичного знака представлены в табл. 7.
