Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрим теперь типичные задачи, приводящие к теореме Муавра—Лапласа.
Производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события^ равнар:
I. Спрашивается, чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от вероятности р не более чем на а? Эта вероятность равна
-Р
а \ = I
п и-
пр
\j2ir
РЧ
/
dx =
РЧ
y/npq
< а
П
РЯ
PQ
dx.
РЯ
II. Какое наименьшее число испытаний нужно произвести для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0, частота отклонялась от вероятности не больше чем на а. Нам нужно определить п из неравенства
,1
\
"Р.
Вероятность, фигурирующую в левой части неравенства, мы заменяем приближенно по теореме Муавра - Лапласа интегралом. Для определе-
94
Гл. 2. Схема Бернулли
ния п в результате получается неравенство
п
рч ~~ f е 2 dx>i3. у2я о
III. При данной вероятности (3 и числе испытаний п требуется опреде-
М
лить границу возможных изменении и п, нужно найти а, для которого М
-~Р п
. Иными словами, зная (3
<а = |3.
Применение интегральной теоремы Лапласа дает нам для определения а уравнение
РЯ
/ e~x*t2dx = j3.
у/27
Численное решение всех рассмотренных нами задач требует умения вычислять значения интеграла
Ф (х) = —==. f е~z2/2 dz (1)
у2л о
при любых значениях х и решать обратную задачу — по величине интеграла Ф(х) вычислять соответствующее значение аргумента х. Для этих расчетов- требуются специальные таблицы, так как интеграл (1) при 0 <
< х < °° в конечном виде через элементарные функции не выражается. Такие таблицы составлены и имеются в конце настоящей книги.
Рис. 12 дает наглядное представление о функции Ф (х). При помощи таблицы значений функции Ф (х) можно вычислять по формуле J (а, Ь) = ='Ф(й) — Ф(а) также значение интеграла
1 ь
J-(a, b)= f e~z ^2 dz.
\Z2lT a
Таблица функции Ф(х) составлена только для положительных х; для отрицательных х функция Ф (х) определяется из равенства
Ф(-х)= -Ф(х).
Мы теперь в состоянии довести до конца решение примера 2 § 9.
§ 12. Применения интегральной теоремы
95
Пример 1. В примере 2 § 9 нам нужно было найти вероятность р = 2,Р{ц = т], где сумма распространена на те значения т, для которых | т - 2,7 - 1012 [>2,7 • 1012, при условии, что общее число испытаний п = 5,4 • 1022 и р = 1/2. Так как
I
л/йрд
л/5,4 ¦
102
1М-ИР
\fnpq
>2,33.-10
в силу теоремы Лапласа
р-------= J e~x2f2dx.
\/2ir 2,33-10 Так как
/ е~х*/2 dx < — f хе^2!1 dx - — e~z*/2,
z Z z Z
TO
p <
1
\/2эт • 10:
e-2,7-100<io-
O том, как мала эта вероятность, можно судить по следующему сравнению. Предположим, что шар радиуса 6000 км наполнен белым песком, в который попала одна черная песчинка. Размер песчинки равен 1 мм3.
Рис. 12
96
Гл. 2. Схема Бернулли
Наудачу из всей этой массы песчинок берется одна; чему равна вероятность того, что она будет черного цвета?
Легко подсчитать, что объем шара радиуса 6000 км немногим меньше Ю30 мм3 и, следовательно, вероятность извлечь черную песчинку немногим больше Ю~30.
Пример 2. В примере 1 § 9 нам нужно было найти вероятность того, что число бракованных изделий окажется не больше семидесяти, если вероятность для каждого изделия быть бракованным равна р = 0,005 и число изделий равно 10 000. По только что доказанной теореме эта вероятность равна
= Ф (2,84) - Ф (-7,09) = Ф (2,84) + Ф (7,09) = 0,9975.
Значения функции Ф (х) при х = 7,09 в таблицах нет, мы заменили его половиной, совершив при этом ошибку, меньшую 10-10.
Естественно, что в примерах настоящего и предыдущего параграфов, равно как и в любых других задачах, относящихся к определению вероятностей Рп(т) при каких-либо конечных значениях тилпо асимптотическим формулам Муавра—Лапласа требуется оценка совершаемой при такой замене ошибки. В течение очень долгого времени теоремы Муавра— Лапласа применялись к решению подобного рода задач без сколько-нибудь удовлетворительной оценки остаточного члена. Создалась чисто эмпирическая уверенность, что при п порядка нескольких сотен или еще большем, а также при р, не слишком близких к 0 или 1, употребление теорем Муавра—Лапласа приводит к удовлетворительным результатам. В настоящее время существуют достаточно хорошие оценки погрешностей, совершаемых при пользовании асимптотической формулой Муавра—Лапласа*).
Мы остановимся еще на обобщении теоремы Бернулли на случай общей схемы последовательности независимых испытаний. Пусть в каждом испытании возможны к исходов, вероятность каждого из них соответственно равна pi, р2......рк и д,, ц2......Mfc - числа появлений каждого исхода
