Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 41

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 176 >> Следующая


Рп(т, s) =P{n = m)-P{u = 2s-m).

В силу локальной теоремы Муавра—Лапласа имеем:

т 2 (2 s-m)2

Pn(m,s)~—L=z{e 2п - е 2п }

\/2iтп

Упражнения

1. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени длительности т равна 1/3. Чему равна вероятность того, что

а) за время г 4 станка потребуют к себе внимания рабочего;

б) число требований к рабочему ро стороны станков за время т будет между

3 и 6 (включая границы) ?

2. В некотором семействе имеется 10 детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки равными 1/2, найти вероятность того, что в семействе

а) 5 мальчиков и 5 девочек;

б) число мальчиков заключается между 3 и 8.

3. В обществе, состоящим из 4 человек, дни рождений трех приходятся на один месяц, а четвертого — на один из остальных одиннадцати. Считая вероятность рождения в течение каждого из месяцев для каждого лица равной 1/12, найти вероятность того, что

а) указанные три лица родились в январе, а четвертое лицо в октябре;

б) три лица родились в каком-то одном месяце, а четвертое в каком-то из остальных одиннадцати.

4. При 14 400 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Как вероятно столь большое или большее уклонение числа выпадений герба от пр, если монета симметрична (т.е. вероятность выпадения герба в каждом испытании равна 1/2) ?

5. К электросети подключено п приборов, каждый мощностью а киловатт и потребляет в данный момент энергию с вероятностью р. Найти вероятность того, что потребляемая в данный момент мощность

а) окажется меньше чем тар;

б) превзойдет гпар (г > 0) при условии, что пр велико.

6. В одном из учебных заведений обучаются 730 студентов. Вероятность того, что день рождения наудачу взятого по списку студента приходится на определенный день года, равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найти

а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января.

б) вероятность того, что найдутся три студента, имеющие один и тот же день рождения.

7. Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что
Упражнения

107

а) в коробке не окажется бракованных сверл;

б) число бракованных сверл окажется не более 3;

в) сколько нужно класть в коробку сверл, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, в ней было не менее 100 исправных?

Указание. Воспользоваться распределением Пуассона.

8. В страховом обществе застраховано 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006-Каждый застрахованный вносит 1 января 12 руб. страховых и в случае смерти его родственники получают от общества 1000 руб. Чему равна вероятность того, что

а) общество потерпит убытки;

б) получит прибыль, не меньшую 40000, 60 000, 80 000 руб.?

9. Доказать теорему: если Р и Р’ - вероятности наиболее вероятного числа появлений события А в п и п + 1 независимых испытаниях (в каждом из испытаний Р (А) =р),тоР'<Р; равенство исключается, если (п + 1) р - не целое число.

10. В схеме Бернулли р = 1/2. Доказать, что:

а)

1

2 \/п

< Р2п (и) <

1

•Jin + 1

~ .. Pm(n±h)

б) lim --------------- = е ,

Ргп (”•>

если z = hj у/гГ (0 < z < +~).

11. Доказать, что при rtpq > 25

Рп ("О :

%/2

npq

1 +

(д -p)(z3 - 3г) 6 \Jnpq

+ Л,

где

т - пр sjnpq

0,15 +0,25 IP - q \ „ n/hp?

Д I < —------ ----— 1 z\e 2

^/(npqy

12. Произведено n независимых испытаний. Вероятность появления события А и г'-м испытании равна р(-; Рп (т) - вероятность m-кратного появления события А в п испытаниях. Доказать, что

„ч Рп( 1) ^ Рп (2)

дЧ ----------- ^ -------------

Рп (0) рп (1)

Рп (”) Рп (п - 1)

б) Рп(т) сначала возрастает, а затем убывает (если только Рп(0) или Рп(п) сами не являются максимальными).

z2

оа ----

13. Доказать, что при х > 0 функция fe ^ dz удовлетворяет неравенствам

< / *

х

-'-х2 2
tos

Гл. 2. Схема Бернулли

14. Задача Б а н а х а. Некий математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда математик вынет пустую коробку, в другой коробке окажется г спичек (г = 0, 1, 2, . . . , п\ п - число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок).

15. К линии электропередачи подключено п механизмов. Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в момент времени t прекратит ее потребление до момента t + At, равна a At + o(At). Если в момент t механизм не потребляет энергии, то вероятность того, что он станет ее потреблять до момента t + At равна 0 At + и (At ) независимо от работы других механизмов. Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pr(t) того, wo в момент / энергию потребляют г механизмов.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed