Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 39

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 176 >> Следующая


Считая каждый выстрел за испытание и попадание в цель — за событие, мы можем для вычисления вероятности Р(ц„ > 2) воспользоваться теоремой Пуассона. В рассматриваемом примере

ап =пр = 0,001 • 5000 = 5.

Искомая вероятность равна

оо

Р{цп>2}= ? Рп(т)^\ -Л,(0)-Л,(1).

т =2

По теореме Пуассона

Р„{0) - е~5, />„(1) - 5е-5.

Поэтому

Р{д„>2) « 1 — 6е~5 « 0,9596.

Максимальное значение вероятность Р„(т) принимает при т = 4 и т = 5. Эти вероятности равны с точностью до четвертого десятичного знака

Р(4) = Р(5) « 0,1751.

Вычисления по точной формуле дают с точностью до четвертого знака -Р5ооо(0) =0,0071, Р50ооО) =0,0354и, следовательно,

2} = 0,9575.

*) В Великой Отечественной войне реальное осуществление условий нашей задачи имело место при обстреливании самолета из пехотного оружия. Пулей самолет может быть подбит лишь при попадании в немногие уязвимые места - мотор, летчик, бензобаки и пр. Вероятность попадания в эти уязвимые места отдельным выстрелом весьма мала, но, как правило, по самолету вело огонь целое подразделение, и общее количество выстрелов, выпущенных по самолету, было значительным. В результате вероятность попадания хотя бы одной или двумя пулями имела заметную величину. Это обстоятельство было подмечено и чисто практически.
§ 13. Теорема Пуассона

101

Ошибка от использования асимптотической формулы меньше 0,25% вычисляемой величины.

П р и м е р 2. На прядильной фабрике работница обслуживает по несколько сотен веретен, каждое из которых прядет свой моток пряжи. При вращении веретена пряжа из-за неравномерности натяжения, неровноты и других причин в моменты времени, зависящие от случая, рвется. Для производства важно знать, как часто могут происходить обрывы при тех или иных условиях работы (сорт пряжи, скорость веретен и т.д.) .

Считая, что работница обслуживает 800 веретен и вероятность обрыва пряжи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени т равна 0,005, найти наиболее вероятное число обрывов и вероятность того, что в течение промежутка времени т произойдет не более 10 обрывов.

а„ = пр = 0,005 • 800 = 4,

то наиболее вероятных чисел обрывов за промежуток времени т будет два:

3 и 4. Их вероятности

Точное значение /’sooP) = /’soo^) = 0,1945. Вероятность того, что чиаю обрывов за промежуток времени т будет не солее ' С равна

Так как

^800(3) = Л,оо(4) =С?00 0,0054 0.995796. По формуле Пуассона имеем:

1.0

Р{цп < 10} = 2 Psoo(m)= 1

2 rSo о (яг

т =0

т = II

В силу теоремы Пуассона



Р»оо(т)---------- е“4 (т = 0, 1. 2, . . .),

т\

поэтому

Р {и„ < 10} = 1 — 2

р

-4

411 412 413 \

------+ ---------+-----------) ?-“4

11! 12! 13! /

m = i 1 т\ V 11!

=----------- е'4 = 0,00276.

11 !39

412 ¦ 14
102

Гл. 2. Схема Бернулли

С другой стороны,

ОО /1^

4 „ 4"

2 -------е < ------------е-4 +

m = i 1 т\ 11!

12!

4'2 - 24

11! 35

е’4 =0,00284.

Таким образом,

0,99716 < Р{д„ < 10} < 0,99724.

Подобно тому, как и при использовании теоремы Муавра—Лапласа, возникает вопрос об оценке совершаемой ошибки при замене точной формулы для вычисления Рп (т) на асимптотическую формулу Пуассона*). Из равенства

мы легко можем найти эту оценку для случая т = 0. В самом деле, так как при любом положительном х 0 < 1 — е~х < х, то каковы бы ни были ап и п

где

0 < R„ < п

Так как

к

к

+

а2п 3п -ап

2п (п-а„)

•) Эта задача подробно исследована в статье Ю.В. Прохорова ’’Асимптотическое поведение биномиального распределения” (УМН. - 1953. - Т. 8. - С. 135-142.)
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний

103

то

0 <Л„ <--------------•

2 (п - а„)

Из того, что R„ неотрицательно, mjI заключаем, что при замене Рп(0) на е Сп мы несколько увеличиваем вероятность Р„(0) .

§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний

В качестве иллюстрации использования предыдущих результатов для целей естествознания мы рассмотрим весьма схематически проблему случайных блужданий частицы на прямой линии. Эта задача может рассматриваться как прообраз реальных физических задач теории диффузии, броуновского движения и пр.

Представим себе, что в определенные моменты времени частица, находящаяся в начальный момент в положении х = 0, испытывает случайные толчки, в результате которых она получает смещение вправо или влево на единицу масштаба. Таким образом, в каждый из этих моментов частица с вероятностью 1/2 смещается на единицу вправо или с такой же вероятностью — на единицу влево. В результате п толчков частица переместится на расстояние /л Ясно, что в этой задаче мы имеем дело со схемой Бернулли в чистом виде. Отсюда следует, что при каждых пит мы можем вычислить
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed