Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность того, чтоц = т: а именно т + п
С„ ( — ) , если — п < m < п,
Р{ц = т) =
I 0 , если | т | > п.
При больших значениях и, как зто следует из локальной теоремы Муавра-Лапласа,
?{ц = т}^ ----— е 2" . (1)
\]Ът
На полученную формулу мы сможем смотреть следующим образом. Пусть в начальный момент имелось большое число частиц, имеющих координату х = 0. Все эти частицы независима друг от друга начинают перемещаться по прямой под влиянием случайных толчков. Тогда после п толчков доля частиц, переместившихся на расстояние и, дается формулой (1).
Понятно, что мы рассматриваем идеализированные условия движения частиц и реальные молекулы движутся при гораздо более сложных условиях, однако полученный результат дает правильную качественную картину явления.
104
Гл. 2. Схема Бернулли
В физике приходится рассматривать более сложные примеры случайных блужданий. Мы ограничимся столь же схематическим рассмотрением влияния 1) отражающей стенки, 2) поглощающей частицы стенки.
Представим себе, что на расстоянии s единиц вправо от точки х = 0 имеется отражающая стенка; так что частица, попавшая в какой-либо момент времени на эту стенку, при следующем толчке с вероятностью единица выбивается в том же направлении, откуда она пришла.
Для наглядности станем изображать положение частицы на плоскости (х, t). Путь частицы изобразится при этом в виде ломаной линии. При каждом толчке частица передвигается на единицу ’’вверх” и на единицу вправо или влево (каждый раз, когда л: < s, с вероятностью половина). Если же л = s, то при очередном толчке частица сдвигается на единицу влево.
Для подсчета вероятности Р {д = ш } поступим следующим образом: мысленно откинем стенку и разрешим частице двигаться свободно, как если бы не было стенки. На рис. 13 показаны такие идеализированные пути, приводящие в точки А и А’, симметрично расположенные относительно стенки. Ясно, что для того, чтобы реальная частица, двигаясь с отражениями, достигла точки А, необходимо и достаточно, чтобы частица, двигающаяся в идеализированной обстановке (без отражающей стенки), достигла либо точки А, либо точки А'. Но вероятность попасть в точку А в идеализированной обстановке, очевидно, равна
п ! / 1\"
Р 1ц=т} =------------------------ ( —) .
(т + п \ / п - т \ \ 2 /
~~2~)'( 2 )!
Точно так же вероятность попасть в точку А’ равна (абсцисса точки А' равна 2s - т)
Искомая вероятность, следовательно, равна Рп (т;s) = P{n = m}+P{y.= 2s-m}.
Если воспользоваться локальной предельной теоремой Муавра—Лапласа, то находим, что
т7 (2 5-тУ
Рп (т, s)..........I е 2п + е 2п
у/2ттп »
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний
105
Это известная формула из теории броуновского движения. Она приобретает более симметричный вид, если начало координат поместить в точке х = s и, следовательно, перейти к новой координате z по формуле z = х — s. В результате этой замены получим, что
_ ^к +s^‘ _ (fc -
Pn(z=k)=Pn{k+s,s} =------------ e 2" + e 2n
y/2nn l
Мы перейдем теперь к рассмотрению третьей схематической задачи, когда
на пути частицы поставлена в точке х =s поглощающая перегородка. Частица, попавшая на перегородку, в дальнейшем движении участия уже не принимает. Очевидно, что в этом примере вероятность попасть в точку х - т (т < s) после п толчков будет меньше, чем Р„(т) (т.е. меньше вероятности попадания в эту точку,без поглощающей стенки); обозначим искомую вероятность символом Р„(т; s) .
Для подсчета вероятности Р„(т; s) снова мысленно уберем поглощающую стенку и предоставим тем самым частице свободно двигаться по прямой. Частица, попавшая в некоторый момент времени в положение х = s, оказывается в последующие моменты времени справа и слева ог прямой х = s с одной и той же вероятностью. Точно так же после попадания на прямую х = s частица с одной и той же вероятностью может попасть как в точку А (т, п) , так и в точку A'(2s — т, п). Но в точку А'частица может попасть, только попав предварительно в положение х = s, поэтому для всякого пути, ведущего в точку А', имеется путь, симметричный относительно прямой х = ? И ведущий в точку Л; точно так же для всякого запрещенного в действительном движении пути, приводящем в точку Л, существует симметричный относительно прямой х = s путь, приводящий в точку А' (рис. 14). При этом заметим, чго мы рассматриваем симметрию
106
Гл. 2. Схема Бернулли
путей, только начиная с момента попадания на прямую х = s. Проведенные рассуждения показывают нам, что из путей, приводящих в точку А в идеализированном движении, мы должны отбросить при подсчете числа благоприятствующих случаев в реальном движении ровно столько, сколько путей ведет в точку А'. Отсюда, очевидно, следует, что
