Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 10б, в, г изображены кривая у = ip(x) и преобразованные только что описанным способом точки [ш, Рп(т)], т.е. точки [д:„, уп(т)]- Мы видим, что уже при п = 25 точки [д:„, уп(т)] сливаются на графике с соответствующими точками кривой у = <р (х). Это совпадение становится еще лучше при больших чем 25 значениях п.
Чтобы получить наглядное представление о том, в какой мере можно пользоваться асимптотической формулой Муавра—Лапласа при конечных «*), т.е. заменять биномиальный закон при вычислении вероятностей Рп(т) функцией у = у(х), приведем пример. Для простоты рассмотрим
Таблица 12
п Рп Qn Pn-Qn Рп/Qn
25 0,09742 0,09679 0,00063 1,0065
100 0,04847 0,04839 0,00008 1,0030
400 0,024207 0,024194 0,000013 1,0004
1156 0,014236 0,014234 0,000002 1,0001
случай р = q = 1/2 и возьмем лишь те п, для которых возможно значение Хпт = 1; такими могут быть, например, п = 25, 100, 400, 1156. Именно для них хпт = 1 прит = 15, 55, 210, 595.
1 —х 2 /2
Положим для краткости Р„(т) = Рп и — .е пт =Qn ПРИ
\j2irnpq
p=q = 1/2 и хпт = 1.
Согласно локальной теореме Муавра—Лапласа отношение Рп!Оп должно стремиться к единице, когда п -*-°°. Вычисление при названных выше значениях п дает
*) Очень точные оценки остаточного члена даны в работе С.Н. Бернштейна ’’Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа” (Изв. АН СССР. - 1943. -Т. 7.)
§11. Интегральная предельная теорема
85
§11. Интегральная предельная теорема
Только что выведенную локальную предельную теорему мы используем для вывода другого предельного соотношения теории вероятностей -интегральной предельной теоремы. Изложение начнем с простейшего частного случая этой теоремы — интегральной теоремы Муавра—Лапласа.
Интегральная теорема Му ав ра-Лапласа. Если р. есть число наступлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р, причем 0 < р < 1, то равномерно относительно а и b (—°°<а<Ь <+°°) при п->°° имеет место соотношение
Z1
[ Д - пр ) 1 * - —
Р К—<iU—/ е dz.
( y/npq ) V2тт а
Доказательство. Введем для краткости письма обозначение
\ Ц- пр
Рп (а, Ъ) = Р{а < Ь
{ V npq
Эта вероятность, очевидно, равна сумме I,Рп(т), распространенной на те значения т, для которых а <хт < b, где попрежнему обозначено хт =
т - пр
\fnpq
Определим теперь функцию у = П„ (д:) следующим образом:
пр
О для jc < jc0 —
О для jc > jc„ + _____ ____,
y/npq \ npq
\Jnpq Рп (т) рдяхт <х <хт + 1 (т = 0, 1,. . . , п).
\fnpq 1 1 + nq
Очевидно, что вероятность Р„(т) равна площади, ограниченной кривой у = II „(jc) , осью ОХ и ординатами в точках jc =jcm их =jcm + i, т.е.
х т -I 1
Рп (т) -\fripq Рп (т) (xm + l -хт)= f Пn(x)dx.
хт
Отсюда следует, что искомая вероятность Рп(а, Ь) равна площади, заключенной между кривой у - П„ (jc) , осью ОХ и ординатами в точках jcm их-, где т и от определяются посредством неравенств
1 1
86 Гл. 2. Схема Бернулли
Таким образом,
хт
Рп (а, Ь) = / п„ (х) dx =
хт
Ь хт Х-
= / n„0)dx+ / n„(x)dx- f n„(x)dx. а ь о
Так как максимальное значение вероятности Рп (т) приходится на значение т0 = [(л + 1)р], то максимальное значение П„(х) приходится на интервал
т0 - пр т0 + 1 — пр 2
0< ......--- <х<-------- <
л/npq s/npq s/npq
В этом интервале действует локальная теорема Муавра—Лапласа, и мы можем поэтому заключить, что при всех достаточно больших значениях п
тахП„(х)<2 maxе'~х !2 = y/l/n. y/2ir
Отсюда мы прежде всего выводим, что
хт хт
I Рп I = I / П„(х) dx - / П„(лг) dx | < / шах П„ (л:) dx +
Ь а Ь
хт ПТ / 2
+ / maxП„(х)d* <>/ — (-b + х- +хт -а)<2л/------------
а 7г trnpq
и что, следовательно Иш рп = 0.
Таким образом, Рп (а, Ь) только на величину бесконечно малую отлича-ь
ется от / n„(x)dx
а
Мы предположим сначала, что а и b — конечные числа. При этом предположении согласно локальной теореме при а < b
Пп(хт)=—^е~х™12[1 + M*m)L \2iг
где осп(хт) ->0 при п 00 равномерно относительно хт. Очевидно, что и
