Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
{
Z
д -пр
------- / е 2 dz-
\/2tF -7,09
1 2,84----------
1 % О
—z=r < 2,84 ~ sjnpq )
* ) См., например, цитированную на стр. 84 работу С.Н. Бернштейна.
§ 13. Теорема Пуассона
97
в последовательности п независимых испытаний. Определим вероятность одновременного осуществления неравенств
Mi < 61, А*2 < е2,. . ., Ик
--Pi --Рг --Рк
п п п
< ек.
(2)
т.е. неравенств
=1 V— >
*i I ei V ’ |х2|<е2 / > • • ¦ > I хк | <
Р1 <71 V Рг(12
Рк Як
Последнее из этих неравенств, собственно, является следствием предыдущих, так как согласно (2) § 13 первые к - 1 из неравенств (2) дают оценку
1
г
Pfli
2 У-
‘=1 РкЯк
к— 1 < 2 /=1
РкЯк
(3)
Согласно (16) § 13 вероятность первых к — 1 неравенств (2) [а следовательно, также неравенства (3)] имеет своим пределом при п интеграл
(2 я)
к-1
Рк
dx л dx2 . . . dxk,_i = 1.
§ 13. Теорема Пуассона
Мы видели при доказательстве локальной теоремы Муавра—Лапласа, что асимптотическое представление вероятности Рп (т) посредством функ-
1 -*’/2
ции ——^е ' действует тем хуже, чем больше вероятность р отли-
лся
чается от половины, т.е. чем меньшие значения р или q приходится рассматривать, и это представление отказывается служить при р = 0, q = 1, а также при р = 1, q = 0. Однако значительный круг задач связан с необходимостью вычисления вероятностей Рп(т) именно при малых значениях р*}. Для того чтобы в этом случае теорема Муавра—Лапласа дала результат с незначительной ошибкой, необходимо, чтобы число п испытаний было очень велико. Возникает, таким образом, задача разыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для случая ’малых р. Такая формула была найдена Пуассоном.
*) Или также при малых значениях q' но очевидно, что задачи разыскания асимптотических формул для Рп(т) при малых значениях р или q сводятся одна к другой.
98 Гл. 2. Схема Бернулли
Рассмотрим последовательность серий Ег i.
^2 1' ^22'
-?”31' ^32' ^3 3
в которой события одной серии взаимно независимы между собой и имеют каждое вероятность р„, зависящую только от номера серии. Через ju„ обозначается число фактически появившихся событий п-й серии. Теорема П у а сс о н а. Если р„ -+0 при п ->°°, го
т
Р (jU„ = т)------ е“п -> 0, (1)
т\
где
вп ~ НРп ¦
Доказательство. Очевидно, что Р„(т) = Р{ц„ = т) = СХр? (1 -Pn)"-m =
^ л -т
П!
т\(п - т)
п
т\ \ п / ^ йп
Пусть т фиксировано. Выберем произвольно е > 0. Тогда можно выбрать А - А (б) столь большим, чтобы при а > А было
§ 13. Теорема Пуассона
99
Рассмотрим сначала те номера п, для которых ап > А. Для этих л, по неравенству 1 — х < е~х, 0 < х < 1: п — т
а„---------~ап е
Рп (т) < ---- е п < — при п>2т
т\ 2
^ е а” < —• т\ 2
Поэтому для указанных л
е е
< - + - = е.
2 2
ml
Рассмотрим теперь те номера л, для которых ап < А. Так как lim { ( 1 — — ) — е йп | = 0 при ап < А и при постоянном т
(-7)"
('-Ж-jL (-^) К
Иш---------------------------------------------------------- 1,
то в силу формулы (2) при п> л0 (е)
< е,
Рп{т)-~ е"ап т\
что и требовалось доказать.
Заметим, что теорема Пуассона имеет место и в том случае, когда вероятность события А в каждом испытании равна нулю. В этом случае ап = 0.
Обозначим
Р{т) = —- е т\
-а
Полученное распределение вероятностей носит название закона Пуассона. Легко подсчитать, что величины Р{т) удовлетворяют равенству
2 Р{т) = 1. Изучим поведение Р(т) как функции т. С этой целью рас-
100
Гл. 2. Схема Бернулли
смотрим отношение Р 0т) _ а
Р(т - 1) т
Мы видим, что если т > а, то Р(т) < Р(т — 1), если же т<а, то Р(т) > Р(т - 1), если, наконец, т = а, то /’(т) = Р(т — 1). Отсюда мы выводим, что величина Р(т) возрастает при увеличении т от 0 до т0 = [о], и при дальнейшем увеличении т убывает. Если а — целое число, то Р(т) имеет два максимальных значения: при т0 - а и при т'0 =а — 1. Приведем примеры.
Пример 1. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000*).
