Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Примечание. Легко указать конкретные осуществления условий этой задачи: движение трамваев, электросварка, потребление энергии станками с автоматическим выключением и пр.
16. Один рабочий обслуживает п однотипных станков-автоматов. Если в момент t станок работает, то вероятность того, что он потребует обслуживания до момента t + At равна aA t + o(At). Если в момент t рабочий обслуживает какой-нибудь станок, то вероятность того, что он закончит обслуживание до момента t + At, равна
0 At + о (At). Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pr(t) того, что в момент t работают п — г станков, один обслуживается и г - 1 ожидают очереди на обслуживание (Р0 (t) - вероятность того, что все станки работают).
Примечание. Нетрудно аналогичным путем составить дифференциальные уравнения для более сложной задачи, когда N станков обслуживает бригада из к рабочих. Для практических целей важно сравнить экономичность гой и другой системы организации труда. С этой целью следует изучить установившийся режим, т.е. рассмотреть вероятности Pr (t) при t ->¦ .
Оказывается, работа бригады, обслуживающей кп станков выгоднее как в смысле лучшего использования рабочего времени станка, так и рабочего времени рабочего, чем обслуживание одним рабочим п станков.
ГЛАВА 3
ЦЕПИ МАРКОВА
§ 15. Определение цепи Маркова
Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема так называемых цепей Маркова, впервые систематически изученная известным русским математиком А.А. Марковым. Мы ограничимся изложением элементов его теории.
Представим себе, что производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из к несовместимых событий A{s\ A^s^.............Aks^ (верхний индекс, как и
в предыдущей главе, обозначает номер испытания). Мы скажем, что последовательность испытаний образует цепь Маркова, точнее, простую цепь Маркова, если условная вероятность в s + \-м испытании (s = 1, 2, 3, ... ) осуществиться событию Af-s+i^ (/ =1,2, к) зависит только от того,
какое событие произошло при s-м испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях.
Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний А,, А2, . . . , Ак и меняет свое состояние только в моменты Г,, t2. • - • , I „» - • - Л1я цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние Aj (/ = 1,2,..., &) в момент ts зависит только от А,• и того, в каком состоянии система находилась в момент ^(^_) < / < /5), и не изменяется от того, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты.
Для иллюстрации рассмотрим два схематических примера.
Примерь Представим себе, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты t L, l2. [3. . . . Частица может находиться в точках с целочисленными координатами а, а +1, а + 2, . . . , Ь: в точках а и Ь находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью q = 1 — р. если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками Мы видим, что проведенный пример блуждания частицы представлят собой типичную цепь Марко-
110
Гл. 3. Цепи Маркова
ва. Точно также можно бы было рассмотреть- случай, когда частица прилипает к одной из стенок или к обеим из них.
Пример 2. В модели Бора атома водорода электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим через событие, состоящее в том, что электрон находится на г-й орбите. Предположим далее, что изменение состояния атома может наступать только в моменты tx,t2,t3,... (в действительности эти моменты представляют собой случайные величины) . Вероятность перехода с i-й орбиты на /-ю в момент ts зависит только от / и / (разность j — i зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент ts) и не зависит от того, на каких орбитах находился электрон в прошлом.
Последний пример представляет собой цепь Маркова с бесконечным (правда, только в принципе) числом состояний; этот пример был бы несравненно ближе к реальной обстановке, если бы моменты перехода нашей системы в новое состояние могли меняться непрерывно.
§ 16. Матрица перехода
Мы ограничимся далее изложением простейших фактов для однородных цепей Маркова, в которых условия вероятность появления события Ajs* ^ в (s + 1)-м испытании при условии, что в х-м испытании осуществилось событие Аf-s^ , не зависит от номера испытания. Мы назовем эту вероятность вероятностью перехода и обозначим буквой p;f, в этом обозначении первый индекс всегда будет обозначать результат предшествующего испытания, а второй индекс указывает, в какое состояние перейдет система в последующий момент времени.
