Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
0<Л < 1.
Из (1) находим, что при любых i и I (i,l= 1,2,... ,к)
| Р0(п) - Ри(п)\ ^Prjin-s)- ? Cr)Pri(n - S) I <
(О (г)
< I max Pn(n - s) ? ji^ - min Pn(n - s) ? | <
< h | max Prj(n - s) — min Prj(n - s) | <
1 sSrstfc
l
<h max | Ptj(n - s) -Рц(п - s) |
1 <i,l<k и, следовательно, также
max | /*«(и) - /y «) | < h max (Pj. (n ~ s) - Рц(п - s)| .
1 <i,l*Zk
Применив это неравенство
раз, найдем, что
Ги-
тах | Рц(п) - Ри(п)( < his J max
1 < i,I
/ п '
Рч[п~ ---
S
- - [ 7
Так как всегда \ Рц(т) — Рц(т) | < 1, то ясно, что
Г «1
max I Рц(п) -Р/,{п)\ < his .! •
1 <i,14k
(3)
Упражнения 45
При п -+°° также | — j -»•00 , поэтому в силу (3) отсюда следует, что
lim max | Рц(п) — Рц(п) I =0. l<i,l<k
Из доказанного заключаем также, что к
2 р, = 1.
/= 1
Действительно, к к
2 Pj = lim 2 Рц(п) = lim 1 = 1.
/= 1 /= 1 П-к»
Таким образом, на величины р,- можно смотреть как на вероятности появления исхода Af'n ^ при м-м испытании, когда п велико.
Физический смысл доказанной теоремы ясен: вероятность системе находиться в состоянии Aj практически не зависит от того, в каком состоянии она находилась в далеком прошлом.
Только что обнаруженная теорема была впервые доказана творцом теории цепных зависимостей А.А. Марковым; она явилась первым строго доказанным результатом среди так называемых эргодических теорем, играющих важную роль в современной физике и инженерном деле.
Упражнения
1. Вероятности перехода даются матрицей
( 1/2 1/3 1/6 \
1/2 1/3 1/6
U/2 1/3
Чему равно число состояний? Найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага.
2. Электрон может находиться на одной из счетного множества орбит в зависимости от наличной энергии. Переход с /-Й орбиты на /ю происходит за одну секунду с вероятностью с,-е~а^~^.
Найти: а) вероятности перехода за две секунды, б) постоянные Cj.
3. Вероятности перехода даются матрицей
1/2 1/2\
0 1/2 .
1/2 0 J
/0 ", =1 '/2
\'/2
Применима ли в данном случае эргодическая теорема Маркова? Если да, то найти предельные вероятности.
ГЛАВА 4
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ § 18. Основные свойства функций распределения
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров.
Число космических частиц, попадающих на определенный участок земной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случайных обстоятельств.
Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, не остается постоянным, а подвержено значительным случайным колебаниям.
Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный характер. В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рассеивания снарядов около центра цели как со случайным явлением и рассматривать указанные уклонения как случайные величины.
Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений очень много даже в течение короткого промежутка времени. Зная скорость молекулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значение, скажем, через 0,01 или 0,001 секунды. Изменение скорости молекулы носит случайный характер.
Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники. Возникает естественная и притом весьма важная задача создания методов изучения случайных величин.
Несмотря на Всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно, в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая из этих величин под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения. Заранее предсказать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испытанию.
§18. Основные свойства функций распределения
117
Таким образом, для того чтобы знать случайную величину, прежде всего необходимо знать те значения, которые она может принимать. Однако одного перечня значений случайной величины еще недостаточно, чтобы по ним можно было делать какие-либо существенные выводы. Действительно, если в третьем примере рассмотреть газ при разных температурах, то возможные значения скоростей молекул останутся теми же самыми, тогда как состояния газа будут различны. Таким образом, для задания случайной величины необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения.
