Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§11. Интегральная предельная теорема
87
при промежуточных значениях аргумента П„(*)= -7^e~xl12 t1 + M*)L
причем lim lim <*„(*) = 0- Действительно, при любом т в интервале а<х < b хт <х < хт + 1 имеем:
П„(х)= П„(хт)= -^=е-х2'2 [1 + а„(*)Ь \/2п
где
<*п(х)='е 2 [ап(хт) + 1] — 1.
Так как
*2 ^ , , , , / max (la 1,1 Ь I)
---------- < X • х - хт <
y/npq
то ясно,что
lim max a(x) = 0.
л-*00 а < jc < b
Собрав вместе найденные оценки, получаем, что Рп(а, Ь)= —^ / е.-**!2 dx+Rn,
у2я а
где
1 * 2
R„ = —==- f е~х 12 ап (х) dx + рп.
\/2тт а
Так как
1 Ь 2
\R„l< шах |а„(х) I • —=_ f е~х I2 dx +р„,
а^х < b уа
то из сказанного ясно, что lim Rn = 0.
и—* оо
В сделанном нами по ходу доказательства частном предположении теорема доказана. Нам остается освободиться от этого ограничения.
88
Гл. 2. Схема Бернулли
С этой целью прежде всего заметим, что
=_ / е 1 dz = 1.
у/Тп
Поэтому для любого е > 0 можно выбрать столь большое А, что 1 А , ?
-L I e-*'2dz> 1 у/2п -А 4
_= / e“zJ/2 dz = / e_z I2 dz< — .
y/2v - - ч/2тг л 8
Выберем далее, в соответствии с доказанным, столь большое п, что при — А < А будет:
Рп (е, Ъ) -
1 * 3
/ е~г I2 dz
<
Тогда очевидно, что
Р„(-А,А)>1-е/2,
Р(-°°,-А)+Р(А, +«)= 1 -Р(-А,А)<е/2.
Теперь докажем, что при любых а и Ъ (— °° < + °°) будет:
Рп (а, Ь)
1 * 2 Se-S'2dz
у/2ж а
<е,
чем, очевидно, и закончится доказательство теоремы Лапласа.
Для этого надо разобрать отдельно различные случаи расположения на прямой точек а и b относительно интервала (— А, А) . Разберем, например, случай а<-А,Ь> А (остальные предоставим читателю).
В этом случае
1 * 2 -Lfe-*2l2dz
у/2п а
1 -А А Ь
-1==( / + / + / e_Z 12 dz), \J2lT а -А А
Рп (а,Ъ)=Рп(а,-А)+Рп(-А,А)+ Рп (А, Ъ).
§11. Интегральная предельная теорема
89
Поэтому Рп (а, Ь) -
\/2тГ а
Рп{-А,А)
Рп(а, -А)
у/2тг
/ е 2 I2 dz
1 А 1
/ e~^2dz yjln -А
Рп (А, Ь) -
~^= / e~**l2dz sThi А
<Рп (-•*>, -А) +
1
-А
I е'
zJ/2
Рп(-А,А)~ —= f е z2/2dz л/2тг ~А
у/2п -«
+ Л,(Л,+») +
dz +
1 е е е е
+ —__ Г е 2 I dz < — + —+ —+ — = е.
л/2тг м 2 4 8 8
Мы перейдем теперь к формулировке интегральной предельной теоре-
мы в общем случае схемы последовательности независимых испытаний. Пусть попрежнему д,- (г = 1,2,..., /с) означает число появлений событий A}-s) (s = 1, 2,.. ., ri) в п последовательных испытаниях. В зависимости от случая ^ могут принимать лишь значения 0, 1,2причем так как в каждом испытании возможны к исходов и эти исходы несовместимы, то должно иметь место равенство
Ml +М2 + ... + Hk = n. (1)
Станем теперь на величины Mi, М2> • • • , M/t смотреть как на прямоугольные координаты точки в /с-мерном евклидовом пространстве.
При этом результаты п испытаний изобразятся точкой с целочисленными координатами, не меньшими нуля и не большими п; будем в дальнейшем называть такие точки целочисленными. Равенство (1) показывает, что результаты испытаний изобразятся не произвольными целочисленными точками в гиперкубе 0 < < л (/' = 1,
2, ..., к), а лишь теми из них, которые находятся в гиперплоскости (1). На рис. 11 изображено положение возможных результатов испытаний в гиперплоскости (1) для случая п = 3, к= 3.
Произведем преобразования коорди-
90
Гл. 2. Схема Бернулли
наты по формулам М/ - npi
*, = -¦ (/= 1,2,... ,к; qt= 1 -pi).
\nPiQi
Уравнение гиперплоскости (1) в новых координатах перепишется в следующем виде:
к
2 хi\fпрiQi = 0. (2)
i=.i
Точки гиперплоскости (2), в которые перешли целочисленные точки гиперплоскости (1), условимся также называть ’’целочисленным и”.
Обозначим через Pn(G) вероятность того, что в результате п испытаний числа JU; (: = 1,2,..., к) появлений каждого из возможных исходов
Д. - "Pi
окажутся такими, что точка с координатами х,- = ¦ - попадет внутрь
\nPi4i
области G.
Тогда имеет место следующая
